자연계열 (오후) 2번

(가) 일정 길이의 곡선으로 최대 면적을 둘러싸는 폐곡선의 형태를 구하는 문제를 등주문제라 한다. 평면 위에서 닫힌곡선 $\displaystyle C$의 길이를 $\displaystyle L$이라 하고 그 내부의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면 다음 부등식이 성립한다.$\displaystyle 4\pi A\le L^2$여기서 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 곡선 $\displaystyle C$가 원인 것이다. 이 부등식을 등주부등식이라고 부른다. 이와 연관된 문제로 디도의 문제(Dido’s problem), 즉 주어진 직선과 이 직선 위에 끝점을 갖는 주어진 길이의 곡선으로 둘러쌀 수 있는 넓이의 최댓값을 구하는 문제를 들 수 있다.

디도의 문제를 변형하여 그림 1에서와 같이 주어진 직선과 이 직선 위에 끝점을 갖는 정해진 길이의 두 선분으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 최대화하는 문제를 생각해보자. 두 선분의 길이를 각각 $\displaystyle a,b$라 하고 두 선분의 끝점 중 직선 위에 있는 점을 각각 $\displaystyle A,C$, 두 선분이 만나는 점을 $\displaystyle B$, 두 선분이 이루는 각을 $\displaystyle \theta\ (0<\theta<\pi)$라 하자. 그러면 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac12ab\sin\theta$이다. 따라서 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac12ab$이고 이때 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이다. 이 경우 최대 넓이의 삼각형은 그림 2에서와 같이 주어진 직선 위에 지름을 가진 원에 내접한다.

(나) 그림 3에서와 같이 서로 수직으로 만나는 두 반직선 위에 하나씩 끝점을 가지며 길이가 정해진 두 선분으로 만들어지는 사각형의 넓이를 최대화시키는 문제를 생각해 보자. 두 선분의 길이를 각각 $\displaystyle a,b$라 하고 그림 3과 같이 두 선분의 끝점 중 반직선 위의 점을 각각 $\displaystyle A,C$, 두 선분이 만나는 점을 $\displaystyle B$, 두 반직선이 만나는 점을 $\displaystyle D$, 두 선분이 이루는 각을 $\displaystyle \theta\ (0<\theta<\pi)$라 하자. 그리고 대각선 $\displaystyle AC$의 길이를 $\displaystyle c$, 변 $\displaystyle DA,DC$의 길이를 각각 $\displaystyle x,y$라 하자. 삼각형 $\displaystyle ABC$에 코사인 제2 법칙을 적용하면 $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$을 얻는다. 그리고 삼각형 $\displaystyle ACD$에 피타고라스 정리를 적용하면 아래 식을 얻는다.$\displaystyle x^2+y^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ (*)한편 구하는 사각형 $\displaystyle ABCD$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac12xy+\frac12ab\sin\theta$이다.산술평균-기하평균 부등식과 삼각함수의 합성을 활용하면 아래 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}S&\le\frac14(x^2+y^2)+\frac12ab\sin\theta=\frac14(a^2+b^2-2ab\cos\theta)+\frac12ab\sin\theta\\&=\frac14(a^2+b^2)+\frac12ab(\sin\theta-\cos\theta)\\&=\frac14(a^2+b^2)+\frac1{\sqrt2}ab\sin(\theta-\frac\pi4)\end{aligned}$마지막 식은 $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}4$일 때 최댓값을 가진다. 한편 처음 부등식에서 등호가 성립하는 경우는 $\displaystyle x=y$일 때이고 임의의 $\displaystyle \theta$에 대하여 (*)를 만족하는 $\displaystyle x,y$를 구할 수 있으므로 S의 최댓값은 $\displaystyle \frac14(a^2+b^2+2\sqrt2ab)$이다. 이 사각형은 원에 내접하지 않는다.