자연계열 3번

[제시문]

도미노 게임이란 도미노 블록을 일정한 간격으로 세운 후 한쪽 끝의 첫 번째 블록을 쓰러뜨리면 연쇄적으로 다음 블록들이 쓰러지는 것을 말한다. 도미노 게임의 원리를 알아보기 위하여 3개의 도미노 블록을 실패 없이 쓰러지도록 늘어놓기로 하자. 첫 번째 블록을 쓰러뜨리면 두 번째 블록이 넘어지고, 두 번째 블록이 넘어지면 세 번째 블록이 넘어진다는 사실을 알 수 있다. 블록이 무한히 많이 있는 도미노 게임에서 ‘도미노 블록이 쓰러진다’는 것을 알기 위해서는 무한 개의 사실을 알아야 하는데, 사람은 무한 개의 사실을 알 수가 없다.

그렇다면 유한 개의 블록에 관한 사실만을 가지고 무한 개의 도미노가 쓰러진다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 다음과 같은 두 가지 사실을 증명할 수 있다면, ‘무한 개의 도미노 블록이 쓰러진다’는 명제가 성립함을 보여줄 수 있다.

(i) 첫 번째 블록은 확실히 쓰러진다.

(ii) 하나의 블록이 쓰러지면, 인접한 그 다음 블록은 반드시 쓰러진다. 즉, $\displaystyle k$번째 블록이 쓰러지면 $\displaystyle (k+1)$번째 블록이 쓰러진다.

첫 번째 블록을 넘어뜨리면 위의 (i)에 의하여 첫 번째 블록은 반드시 넘어지고, (ii)에 의하여 두 번째 블록이 쓰러질 것이고, 두 번째 블록이 넘어졌으므로 세 번째 블록도 넘어질 것이다. 이 같은 현상은 계속되어 무한 개의 도미노가 모두 쓰러질 것이다.