가톨릭대 2013학년도 수시1차 생활과학·미디어 2번 해설

[문항 2] 제시문 (가)~(라)를 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (40점)

(가) 모집단에서 임의추출한 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본의 원소를 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 이라고 할 때, 이들의 평균 $\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ 를 표본평균이라고 한다. 이 때 $\displaystyle \overline{X}$ 는 확률변수이다. 특히, 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ 을 따른다.

(나) 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 을 따르는 확률변수 $\displaystyle Z$ 와 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 인 상수 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 $\displaystyle Z\geqq c$ 일 확률이 $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ 가 되는 $\displaystyle c$ 를 $\displaystyle c_\alpha$ 라고 표시하자. 즉, $\displaystyle P(Z\geqq c_\alpha)=\frac{\alpha}{2}$ 이다. <그림 1>에는 $\displaystyle Z$ 의 확률밀도함수의 그래프와 $\displaystyle c_\alpha$ 가 도시되어 있다. 이 그림에서 어두운 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ 이다.

(다) 확률변수 $\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르면 확률변수 $\displaystyle \frac{X-m}{\sigma}$ 는 표준정규분포를 따른다. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle \sigma$ 는 상수이고 $\displaystyle \sigma$ 는 양수이다.)

(라) 어떤 모집단이 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따른다고 하자. $\displaystyle 0<\alpha<1$ 인 상수 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 로 모평균 $\displaystyle m$ 을 추정하는 방법은 다음과 같다. 우선 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 에 대해 $\displaystyle P(m-A\leqq\overline{X}\leqq m+A)=1-\alpha$ 이 성립하는 $\displaystyle A$ 를 구한다. 그러면 $\displaystyle P(\overline{X}-A\leqq m\leqq\overline{X}+A)=P(m-A\leqq\overline{X}\leqq m+A)=1-\alpha$ 이므로 모평균 $\displaystyle m$ 이 구간 $\displaystyle [\overline{X}-A,\overline{X}+A]$ 내에 있을 확률이 $\displaystyle 1-\alpha$ 이다. 이 때 구간 $\displaystyle [\overline{X}-A,\overline{X}+A]$ 를 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 의 신뢰구간이라고 부른다. <그림 2>에는 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 의 확률밀도함수의 그래프와 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 의 4개의 값 $\displaystyle \overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3,\overline{x}_4$ 을 사용하여 얻은 4개의 신뢰구간이 도시되어 있다. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle \sigma$ 는 상수이다.)

표준정규분포의 오른쪽 꼬리 확률과 네 개의 표본평균에서 얻은 신뢰구간, 원문 그림 1과 그림 2

논제 1. (20점) 제시문 (라)의 $\displaystyle A$ 를 표본의 크기 $\displaystyle n$ , 모집단의 표준편차 $\displaystyle \sigma$ , 제시문 (나)에서 정의된 $\displaystyle c_\alpha$ 를 이용하여 나타내고자 한다. 제시문을 바탕으로 $\displaystyle A$ 를 나타내는 방법을 논의하고 그 결과를 쓰시오.

논제 2. (20점) 어떤 회사에서 생산되는 제품의 무게는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따른다고 한다. 이 제품 중 100개를 임의추출하여 조사하였더니 평균무게가 $\displaystyle \overline{x}=12.5$ g이었다. 이로부터 제시문 (라)의 방식을 따라 신뢰도 $\displaystyle 95\%$ 로 모평균 $\displaystyle m$ 을 추정하여 신뢰구간 $\displaystyle [10.2,14.8]$ 을 구했다. 이 추정 결과를 근거로 갑돌이는 “이 회사의 제품을 임의로 100개 구매하면 그 제품들의 평균무게가 구간 $\displaystyle [10.2,14.8]$ 내에 있을 확률이 $\displaystyle 0.95$ 이다.”라고 판단하였다. 갑돌이의 이러한 판단이 올바른 것인지 주어진 제시문을 바탕으로 논술하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle \sigma$ 는 상수이고 $\displaystyle \sigma$ 는 양수이다.)

가톨릭대 2013학년도 수시1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2013su/jayeon_2

대학 공개 예시답안은 준비중입니다.

가. 기본사항

1) 각 논제를 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가한다. 각 논제에 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산한다.

2) 채점위원 2인이 1조가 되어 동일한 문항에 대해 각각 채점하고, 채점의 결과가 10점 이상의 차이가 날 경우에는 채점위원 합의로 2차 채점을 진행한다. 2차 채점에서 위원 사이에 조정이 이루어지지 않을 경우에는 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 실시하되, 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

나. 세부사항

1) 문제의 의도를 완전히 잘못 이해했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우에는 0점으로 채점한다.

2) 각 문항의 구체적인 채점 기준은 아래와 같다.

[문항 2]

(논제 1 : 20점)

① $\displaystyle Z=\frac{\overline X-m}{\sigma/\sqrt n}$ 이 표준정규분포를 따른다는 것을 밝히면 5점,

② 주어진 식 $\displaystyle P(m-A\le\overline X\le m+A)=1-\alpha$ 으로부터 $\displaystyle P(\frac{\overline X-m}{\sigma/\sqrt n}\ge\frac A{\sigma/\sqrt n})=\frac\alpha2$ 이 된다는 것을 올바르게 밝히면 5점,

③ $\displaystyle \frac A{\sigma/\sqrt n}=c_\alpha$ 임을 밝히면 5점,

④ 결과( $\displaystyle A=c_\alpha\frac\sigma{\sqrt n}$ )가 맞으면 5점을 부여한다.

※ 계산 과정에 단순한 실수가 있거나 논리 전개에 미흡한 점이 있을 경우에는 주어진 점수 범위 내에서 감점한다.

(논제 2 : 20점)

① 신뢰구간 $\displaystyle [10.2,14.8]$ 이 $\displaystyle [\overline x-c_{0.05}\frac\sigma{10},\;\overline x+c_{0.05}\frac\sigma{10}]$ 과 같이 표현된다고 기술하면 5점,

② 100개의 평균 무게 $\displaystyle \overline X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\frac{\sigma^2}{100})$ 를 따른다고 기술하면 5점,

③ 갑돌이가 고려하는 확률이 $\displaystyle P(10.2\le\overline X\le14.8)=P(\overline x-c_{0.05}\frac\sigma{10}\le\overline X\le\overline x+c_{0.05}\frac\sigma{10})$ 과 같이 표현된다고 기술하면 5점,

④ 이 확률이 항상 0.95인 것은 아님을 바르게 추론하면, 즉 갑돌이의 판단이 옳지 않다는 것을 바르게 추론하면 5점을 부여한다.

※ 답만 쓴 경우에는 0점으로 처리한다.

※ 이 논제에 대한 답안의 유형으로 다음과 같이 크게 3가지 형태를 고려할 수 있다.

(a) 식을 통해 $\displaystyle P(10.2\le\overline X\le14.8)=P(\frac{\overline x-m}{\sigma/10}-c_{0.05}\le Z\le\frac{\overline x-m}{\sigma/10}+c_{0.05})$ 임을 올바르게 나타내면 15점, 이 확률이 항상 0.95가 되지는 않기 때문에 갑돌이의 판단이 올바르지 않다고 논술하면 추가 5점을 부여한다.

(b) <그림 2>를 통해 확률 $\displaystyle P(10.2\le\overline X\le14.8)=P(\frac{\overline x-m}{\sigma/10}-c_{0.05}\le Z\le\frac{\overline x-m}{\sigma/10}+c_{0.05})$ 의 값을 $\displaystyle \overline X$ 의 확률밀도함수의 그래프의 넓이로 표현하고, 그 넓이가 항상 0.95가 되지는 않기 때문에 갑돌이의 판단이 올바르지 않다고 논술하는 경우에도 20점을 부여한다. 이 경우 논리적 비약이 있을 때에는 그 정도에 따라 감점한다.

(c) 평균무게가 구간 $\displaystyle [10.2,14.8]$ 내에 있을 확률에 대한 계산이나 설명 없이 단순히 “신뢰도 95%로 모평균을 추정한다는 것은 여러 표본을 통해 100개의 신뢰구간을 구하면 100개의 신뢰구간 중 평균적으로 95개의 신뢰구간이 $\displaystyle m$ 을 포함한다는 뜻이다.”와 같이 신뢰도의 의미를 서술한 후에, 단순히 이 때문에 갑돌이의 판단이 올바르지 않다고 논술하는 경우에는 논리적 비약이 있으므로 최대 15점까지만 부여한다. 단, 이러한 방식으로 논술하더라도 논리적인 비약이나 모순이 없는 경우에는 20점을 부여한다.

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