간호-자연 2번

(가) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$, $\displaystyle y=0$로 둘러싸인 부분을 $\displaystyle x$축에 대해 회전한 회전체의 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같이 주어진다. (그림 1)

$\displaystyle V=\pi\int_a^bf(x)^2dx$

(나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$가 그 구간에서 $\displaystyle f(x)>g(x)>0$를 만족한다고 할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 부분을 $\displaystyle x$축에 대해 회전한 회전체의 부피 $\displaystyle W$는 다음과 같이 주어진다. (그림 2)

$\displaystyle W=\pi\int_a^bf(x)^2dx-\pi\int_a^bg(x)^2dx$

(다) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle 0$보다 큰 상수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(x)>k$를 만족한다. 함수 $\displaystyle f(x)$를 직선 $\displaystyle y=k$에 대하여 대칭 이동한 함수를 $\displaystyle g(x)$라고 하고, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 영역을 $\displaystyle A$라고 하자. 만일 영역 $\displaystyle A$의 면적이 $\displaystyle S$이고 $\displaystyle g(x)>0$이면 영역 $\displaystyle A$를 $\displaystyle x$축에 대하여 회전한 회전체의 부피는 $\displaystyle 2\pi kS$이다.

(라) 두 부등식 $\displaystyle x^2+(y-1)^2\le1$과 $\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2\le1$을 만족하는 영역을 $\displaystyle B$라고 하자.