의예과 1번

1. $\displaystyle N(7),P(7)$ 구하기(1) 두 번째가 − 라면 그 뒷부분에 의해 결정되는 경우의 수는 $\displaystyle N(5)$와 동일해 진다.(2) 두 번째가 + 라면 ＋ ＋ a b c − − 의 형태가 되어야 하고, a, b, c 부분에는 + 가 1번, −가 2번 나와야 한다. 이런 경우는 모두 3가지이다.따라서 $\displaystyle N(7)=N(5)+3=5$가 되고, $\displaystyle P(7)=5a^3(1-a)^4$가 된다.

2. $\displaystyle N(9),P(9)$ 구하기(1) 두 번째가 − 라면 그 뒷부분에 의해 결정되는 경우의 수는 $\displaystyle N(7)$과 동일해 진다.(2) 두 번째가 + 라면 ＋ ＋ a b c d e − − 의 형태가 되어야 하고, a b c d e 부분에는 + 가 2번, −가 3번 나와야 한다. 또한 9번째 전에 B에 공이 하나도 없는 경우가 발생하면 안되므로, 9번째 시점 전까지는 모든 시점에 대하여 그 시점까지의 − 총개수가 + 총개수 보다 클 수는 없다.a b c d e 부분을 +를 기준으로 △ ＋ ○ ＋ ★ 형태로 나타내면△ 부분에 −가 0개인 경우는 ○부분에 −가 각각 0, 1, 2, 3 개가 올 수 있고△ 부분에 −가 1개인 경우는 ○부분에 −가 각각 0, 1, 2 개가 올 수 있고△ 부분에 −가 2개인 경우는 ○부분에 −가 각각 0, 1 개가 올 수 있다.모든 경우에서 ★ 부분은 자동으로 결정되므로 총 경우의 수는 4+3+2=9가지가 된다. 따라서 $\displaystyle N(9)=N(7)+9=14$가 되고 $\displaystyle P(9)=14a^4(1-a)^5$가 된다.

제시문 (라)에 의하여 $\displaystyle n=7$ 또는 $\displaystyle n=9$일 확률은$\displaystyle P(7)+P(9)=f(a)=5a^3(1-a)^4+14a^4(1-a)^5$가 된다.

$\displaystyle f(a)$를 최대화 하는 $\displaystyle a$를 구하기 위해 $\displaystyle f(a)$를 미분하여 정리하면$\displaystyle f^{\prime}(a)=a^2(1-a)^3(126a^3-182a^2+21a+15)$가 되고

원하는 방정식은 $\displaystyle 126a^3-182a^2+21a+15=0$이 된다.

$\displaystyle P(25)$를 최대화하는 $\displaystyle a$를 구하면 되므로 $\displaystyle g(a)=P(25)$라고 하자.$\displaystyle g(a)=N(25)a^{12}(1-a)^{13}$으로 나타내지고 $\displaystyle N(25)$는 양의 상수이므로 논제 2는 $\displaystyle h(a)=a^{12}(1-a)^{13}$을 최대화하는 $\displaystyle a$를 구하는 것과 동일하다.

$\displaystyle h(a)$를 미분해서 정리하면$\displaystyle h^{\prime}(a)=a^{11}(1-a)^{12}(25a-12)$Correction. 도함수의 마지막 인수 $\displaystyle 25a-12$는 $\displaystyle 12-25a$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.가 되고 $\displaystyle h(a)$는 $\displaystyle 0<a<0.48$에서 증가함수, $\displaystyle 0.48<a<1$에서 감소함수임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle g(a)$는 $\displaystyle a=0.48$에서 유일한 최대값을 갖는다.

제시문 (다)에 주어진 동전 중에서 $\displaystyle h(a)$를 최대화 하기 위해 선택가능한 $\displaystyle a$ 값은 0.4와 0.5인데$\displaystyle \log_{10}\left(\frac{h(0.5)}{h(0.4)}\right)=\log_{10}\left(\frac{5^{25}}{4^{12}6^{13}}\right)=\log_{10}\left(\frac{5^{25}}{4^{12}6^{13}}\right)=25-61\log_{10}2-13\log_{10}3$이 되고 $\displaystyle \log_{10}2\sim0.3010,\;\log_{10}3\sim0.4771$이므로 $\displaystyle \log_{10}\left(\frac{h(0.5)}{h(0.4)}\right)>0$, 즉 $\displaystyle h(0.5)>h(0.4)$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle a=0.5$인 동전을 선택한다.