자연계열 1번

제시문 (나)에 따라 사건 $\displaystyle C$와 $\displaystyle D$가 독립이 되려면 $\displaystyle P(C\cap D)=P(C)P(D)$를 만족해야 한다.$\displaystyle P(C)=P(\{X,Z\})=a+b,\quad P(D)=P(\{Y,Z\})=a+1/5$이고$\displaystyle P(C\cap D)=P(Z)=a$이므로 $\displaystyle (a+b)(a+1/5)=a$를 만족한다.$\displaystyle 2a+b+1/5=1$이므로 $\displaystyle b=4/5-2a$가 되어 방정식 $\displaystyle (4/5-a)(1/5+a)=a$를 얻는다.이를 정리하면 이차방정식 $\displaystyle 25a^2+10a-4=0$가 되고 이를 근의 공식에 넣어 $\displaystyle a=\frac{-1\pm\sqrt5}5$를 구한다. $\displaystyle a$는 $\displaystyle 0$보다 크거나 같고 $\displaystyle 2/5$보다는 작거나 같아야 하므로, 이 중 $\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt5}5$가 원하는 답이다.

제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$를 만족하므로$\displaystyle P(C\mid D)=\frac a{a+1/5}=1-\frac1{5a+1}$가 된다. 확률의 의미를 갖기 위해서는 $\displaystyle 0\le a\le2/5$를 만족해야하고 이 함수는 아래 그림에서와 같이 구간 $\displaystyle [0,2/5]$에서 증가함수이므로 최솟값은 $\displaystyle a=0$일 때, $\displaystyle 0$, 최댓값은 $\displaystyle a=2/5$일 때 $\displaystyle 2/3$이다.