가톨릭대 2015학년도 모의 자연계열 1번 해설

[문항 1] 제시문 (가)~(바)를 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (25점)

(가) 어떤 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률을 $\displaystyle P(A)$ 라고 한다.

(나) 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대하여 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 를 만족하면 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 는 독립이라고 한다.

(다) 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대하여 조건부 확률 $\displaystyle P(A\mid B)$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

(라) 평면 위의 네 점 $\displaystyle O(0,0),X(1,0),Y(0,1),Z(1,1)$ 을 원소로 하는 집합을 $\displaystyle V$ 라고 하자.

$\displaystyle V=\{O(0,0),\;X(1,0),\;Y(0,1),\;Z(1,1)\}$

(마) 집합 $\displaystyle V$ 에서 어떤 점이 뽑힐 확률이 다음과 같이 주어졌다. 이 값들이 확률로서의 의미를 갖게 하는 $\displaystyle a$ 의 범위를 $\displaystyle I$ 라고 하자.

$\displaystyle P(O)=P(Z)=a,\;P(X)=b,\;P(Y)=\frac15$

단, $\displaystyle P(O)+P(X)+P(Y)+P(Z)=1$ 이다.

(바) 사건 $\displaystyle C$ 와 사건 $\displaystyle D$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle C=\{(x,y)\in V\mid x=1\}$

$\displaystyle D=\{(x,y)\in V\mid y=1\}$

논제 1. (10점) 제시문 (바)에 주어진 사건 $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle D$ 가 독립이 되는 $\displaystyle a$ 값을 구하시오.

논제 2. (15점) 함수 $\displaystyle f(a)$ 를 제시문 (바)에 주어진 사건 $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle D$ 에 대한 조건부 확률 $\displaystyle P(C\mid D)$ 라고 하자. 그러면 함수 $\displaystyle f$ 의 정의역은 제시문 (마)에 주어진 $\displaystyle I$ 이고 공역은 $\displaystyle [0,1]$ 이다. 이 때, $\displaystyle f(a)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

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+5점

제시문 (나)에 따라 사건 $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle D$ 가 독립이 되려면 $\displaystyle P(C\cap D)=P(C)P(D)$ 를 만족해야 한다. $\displaystyle P(C)=P(\{X,Z\})=a+b,\quad P(D)=P(\{Y,Z\})=a+1/5$ 이고 $\displaystyle P(C\cap D)=P(Z)=a$ 이므로 $\displaystyle (a+b)(a+1/5)=a$ 를 만족한다. $\displaystyle 2a+b+1/5=1$ 이므로 $\displaystyle b=4/5-2a$ 가 되어 방정식 $\displaystyle (4/5-a)(1/5+a)=a$ 를 얻는다.

+5점

이를 정리하면 이차방정식 $\displaystyle 25a^2+10a-4=0$ 가 되고 이를 근의 공식에 넣어 $\displaystyle a=\frac{-1\pm\sqrt5}5$ 를 구한다. $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle 0$ 보다 크거나 같고 $\displaystyle 2/5$ 보다는 작거나 같아야 하므로, 이 중 $\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt5}5$ 가 원하는 답이다.

+5점

제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$ 를 만족하므로 $\displaystyle P(C\mid D)=\frac a{a+1/5}=1-\frac1{5a+1}$ 가 된다.

+10점

확률의 의미를 갖기 위해서는 $\displaystyle 0\le a\le2/5$ 를 만족해야하고 이 함수는 아래 그림에서와 같이 구간 $\displaystyle [0,2/5]$ 에서 증가함수이므로 최솟값은 $\displaystyle a=0$ 일 때, $\displaystyle 0$ , 최댓값은 $\displaystyle a=2/5$ 일 때 $\displaystyle 2/3$ 이다.

I. 기본 사항

가. 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 환산함.

나. 채점위원 2인이 1조가 되어 한 답안지를 1차와 2차로 나누어 채점하고, 1차 채점의 결과가 10점 이상의 차이가 날 경우 채점위원이 공동 합의로 2차 채점을 진행하고, 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

다. 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

가. 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

나. 논제에 관한 설명이 정답에서 크게 벗어나지 않는 사소한 실수는 그 경중에 따라 1~3점을 차감한다.

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