자연계열 2번

가톨릭대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015mo/jayeon_2

[문항 2] 제시문 (가)~(라)를 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (35점)

(가) 구간 $\displaystyle I_n$ 은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle I_n=\left\{x\middle|\frac1{2^n}<x\le\frac1{2^{n-1}}\right\}\quad(n=1,2,3,\cdots)$

(나) 함수 $\displaystyle f_n(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. ( $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$ )

$\displaystyle f_n(x)=\begin{cases}\frac{3+(-1)^k}2x,&x\in I_k\\0,&x>1\text{ 또는 }x\le\frac1{2^n}\end{cases}$

단, $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$

(다) 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 불연속점이 $\displaystyle 0<x_1<x_2<x_3<\cdots<x_n<1$ 라고 할 때, $\displaystyle g(x)$ 의 적분은 다음과 같이 계산된다.

$\displaystyle \int_0^1g(x)dx=\int_0^{x_1}g(x)dx+\sum_{k=1}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}g(x)dx+\int_{x_n}^1g(x)dx$

(라) 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 은 다음과 같이 정의된다. ( $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$ )

$\displaystyle S_n=\int_0^1f_n(x)dx$

논제 1. (10점) 제시문 (나)에서 정의된 함수 중, $\displaystyle y=f_4(x)$ 의 그래프를 그리시오.

논제 2. (25점) 제시문 (라)에서 정의된 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 의 일반항을 구하고 이 수열의 수렴성에 대해서 논술하시오.

해설강의 준비중

가톨릭대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015mo/jayeon_2

+10점

그래프는 다음과 같다.

+5점

$\displaystyle a_n=\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}x\,dx,\qquad b_n=\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}2x\,dx$ 라고 하면 $\displaystyle a_n=\left.\frac12x^2\right|_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}=\frac12\left(\frac1{2^{2n-2}}-\frac1{2^{2n}}\right)=\frac3{2^{2n+1}},$ $\displaystyle b_n=\left.x^2\right|_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}=\frac1{2^{2n-2}}-\frac1{2^{2n}}=\frac3{2^{2n}}$ 이 된다.

+10점

$\displaystyle \begin{aligned}a_1+a_3+\cdots+a_{2m+1}&=3\left(\frac1{2^3}+\frac1{2^7}+\cdots+\frac1{2^{4m+3}}\right)\\&=\frac25\left(1-\frac1{2^{4(m+1)}}\right)\end{aligned}$ 이고 $\displaystyle \begin{aligned}b_2+b_4+\cdots+b_{2m}&=3\left(\frac1{2^4}+\frac1{2^8}+\cdots+\frac1{2^{4m}}\right)\\&=\frac15\left(1-\frac1{2^{4m}}\right)\end{aligned}$ 이므로

+7점

(1) $\displaystyle n=2m+1$ 일 때 $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac25\left(1-\frac1{2^{4(m+1)}}\right)+\frac15\left(1-\frac1{2^{4m}}\right)\\&=\frac15\left(3-\frac1{2^{4m}}-\frac1{2^{4m+3}}\right)\end{aligned}$ (2) $\displaystyle n=2m$ 일 때 $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac25\left(1-\frac1{2^{4m}}\right)+\frac15\left(1-\frac1{2^{4m}}\right)\\&=\frac15\left(3-\frac1{2^{4m-1}}-\frac1{2^{4m}}\right)\end{aligned}$ 이 된다.

+3점

따라서 $\displaystyle n$ 이 무한대로 갈 때 $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle \frac35$ 으로 수렴한다.

I. 기본 사항

가. 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 환산함.

나. 채점위원 2인이 1조가 되어 한 답안지를 1차와 2차로 나누어 채점하고, 1차 채점의 결과가 10점 이상의 차이가 날 경우 채점위원이 공동 합의로 2차 채점을 진행하고, 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

다. 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

가. 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

나. 논제에 관한 설명이 정답에서 크게 벗어나지 않는 사소한 실수는 그 경중에 따라 1~3점을 차감한다.

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