자연계열 1번

함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f(x)=kx^2$라고 정의할 때, $\displaystyle f^{\prime}(1)=2k$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=kx^2$위의 점 $\displaystyle A(1,k)$를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle l_1:y=2k(x-1)+k$이다.

점 $\displaystyle (1,k)$에서 접선 $\displaystyle l_1$에 수직하는 직선의 기울기는 제시문 (ㄴ)에 의해서, $\displaystyle -\frac1{2k}$임을 알 수 있다. 따라서 접선 $\displaystyle l_1$에 수직하고 $\displaystyle f(x)$위의 한 점 $\displaystyle (1,k)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle l_2:y=-\frac1{2k}(x-1)+k$이다.

제시문 (ㄷ)에서 주어진 점 $\displaystyle P$와 점 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle y$좌표는 각각 $\displaystyle 2k+k=3k,\;-\frac1{2k}+k$이다. 따라서 두 점 사이의 길이 $\displaystyle L$은 $\displaystyle 3k+\frac1{2k}-k=2k+\frac1{2k}$이다. 제시문 (ㄹ) 제시된 산술·기하평균 관계식을 이용하면 $\displaystyle L=2k+\frac1{2k}\ge2\sqrt1=2$이고 등호는 $\displaystyle 2k=\frac1{2k}$일 때 성립한다.

따라서 길이 $\displaystyle L$의 최솟값은 $\displaystyle 2$이고 이 때의 $\displaystyle k$값은 $\displaystyle k=\frac12$이다.