자연계열 3번

특정 질병 D에 걸린 사건을 $\displaystyle D$, 초음파 검사에서 D에 걸렸다고 나올 사건을 $\displaystyle B$라고 할 때$\displaystyle \mathrm P(B|D)=0.9,\;\mathrm P(B|D^C)=0.02,\;\mathrm P(D)=0.1,\;\mathrm P(D^C)=0.9$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D|B)&=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(B)}=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(D\cap B)+\mathrm P(D^C\cap B)}\\&=\frac{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)}{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)+\mathrm P(B|D^C)\mathrm P(D^C)}=\frac{0.9\times0.1}{0.9\times0.1+0.02\times0.9}=0.833\end{aligned}$Correction. 계산값은 $\displaystyle \frac56=0.8333\ldots$이므로, $\displaystyle =0.833$은 $\displaystyle \approx0.833$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

즉, 초음파 검사 결과에서 D에 걸렸다고 나왔을 때 그 환자가 특정 질병에 걸렸을 확률 $\displaystyle \mathrm P(D|B)=0.833$이다.

초음파 검사에서 특정 질병에 걸렸을 때 D에 걸렸다고 나올 확률을 $\displaystyle x$라고 할 때$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D|B)&=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(B)}\\&=\frac{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)}{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)+\mathrm P(B|D^C)\mathrm P(D^C)}\\&=\frac{x\times0.1}{x\times0.1+0.02\times0.9}\ge0.84\end{aligned}$이다.

따라서 위 부등식을 풀면 $\displaystyle x\ge\frac{0.18\times0.84}{0.16}=0.945$이다. 즉 초음파 검사 결과에서 D에 걸렸다고 나왔을 때 그 환자가 특정 질병에 걸렸을 확률이 $\displaystyle 0.84$이상이기 위한 초음파 검사에서 특정 질병에 걸렸을 때 D에 걸렸다고 나올 확률은 $\displaystyle 94.5\%$이상이다.