자연계열 3번

가톨릭대 2018학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/catholic/2018mo/jayeon_3

[문항 3] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (40점)

(ㄱ) [확률의 덧셈정리] 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여

$\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(B)-\mathrm P(A\cap B)$

이 성립한다. 특히 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반사건이면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(B)$

(ㄴ) [조건부확률] 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률 $\displaystyle \mathrm P(B|A)$ 는 다음과 같다. (단, $\displaystyle \mathrm P(A)>0$ )

$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}$

(ㄷ) [확률의 곱셈정리] 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 다음이 성립한다. (단, $\displaystyle \mathrm P(A)>0,\;\mathrm P(B)>0$ )

$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B|A)=\mathrm P(B)\mathrm P(A|B)$

(ㄹ) 특정 질병 D에 걸렸는지 진단하는 초음파 검사가 있다. 이 검사 방법으로 진단할 때, D에 걸린 사람을 D에 걸렸다고 정확하게 진단할 확률은 $\displaystyle q$ 이고, D에 걸리지 않은 사람을 D에 걸렸다고 오진할 확률은 $\displaystyle 0.02$ 라고 한다. D에 걸린 사람의 비율이 $\displaystyle 10\%$ 인 어느 실험 집단에서 임의로 한 명을 택하여 이 초음파 검사를 한 결과 D에 걸렸다고 진단했을 때 실제로 D에 걸렸을 확률을 $\displaystyle p$ 라고 하자.

논제 1. (20점) 제시문 (ㄹ)에서 $\displaystyle q$ 가 $\displaystyle 0.9$ 일 때 $\displaystyle p$ 를 구하고 그 근거를 논술하시오.

논제 2. (20점) 제시문 (ㄹ)에서 $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle 0.84$ 이상이기 위한 $\displaystyle q$ 의 범위를 구하고 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

가톨릭대 2018학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/catholic/2018mo/jayeon_3

+5점

특정 질병 D에 걸린 사건을 $\displaystyle D$ , 초음파 검사에서 D에 걸렸다고 나올 사건을 $\displaystyle B$ 라고 할 때 $\displaystyle \mathrm P(B|D)=0.9,\;\mathrm P(B|D^C)=0.02,\;\mathrm P(D)=0.1,\;\mathrm P(D^C)=0.9$ 이다.

+10점

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D|B)&=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(B)}=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(D\cap B)+\mathrm P(D^C\cap B)}\\&=\frac{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)}{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)+\mathrm P(B|D^C)\mathrm P(D^C)}=\frac{0.9\times0.1}{0.9\times0.1+0.02\times0.9}=0.833\end{aligned}$ Correction. 계산값은 $\displaystyle \frac56=0.8333\ldots$ 이므로, $\displaystyle =0.833$ 은 $\displaystyle \approx0.833$ 으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점

즉, 초음파 검사 결과에서 D에 걸렸다고 나왔을 때 그 환자가 특정 질병에 걸렸을 확률 $\displaystyle \mathrm P(D|B)=0.833$ 이다.

+15점

초음파 검사에서 특정 질병에 걸렸을 때 D에 걸렸다고 나올 확률을 $\displaystyle x$ 라고 할 때 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D|B)&=\frac{\mathrm P(D\cap B)}{\mathrm P(B)}\\&=\frac{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)}{\mathrm P(B|D)\mathrm P(D)+\mathrm P(B|D^C)\mathrm P(D^C)}\\&=\frac{x\times0.1}{x\times0.1+0.02\times0.9}\ge0.84\end{aligned}$ 이다.

+5점

따라서 위 부등식을 풀면 $\displaystyle x\ge\frac{0.18\times0.84}{0.16}=0.945$ 이다. 즉 초음파 검사 결과에서 D에 걸렸다고 나왔을 때 그 환자가 특정 질병에 걸렸을 확률이 $\displaystyle 0.84$ 이상이기 위한 초음파 검사에서 특정 질병에 걸렸을 때 D에 걸렸다고 나올 확률은 $\displaystyle 94.5\%$ 이상이다.

1. 기본 사항

(1) 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 환산함

(2) 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

(1) 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

(2) 각 문항 별 채점 기준은 다음과 같다.

첨삭 사례

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