의예과 1번

등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-a^2)a^n$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle a^2=1$ 또는 $\displaystyle |a|<1$이다.즉, $\displaystyle I=[-1,1]$이 된다.

$\displaystyle -1<x<1$인 경우,$\displaystyle f(x)=(1-x^2)x+(1-x^2)x^2+(1-x)^2x^3+\cdots=\frac{(1-x^2)x}{1-x}=(1+x)x$Correction. 세 번째 항의 $\displaystyle (1-x)^2x^3$은 $\displaystyle (1-x^2)x^3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x=-1$인 경우, $\displaystyle f(-1)=0$$\displaystyle x=1$인 경우, $\displaystyle f(1)=0$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle 0<|x|<1$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0<x^{2018}<1$이므로 $\displaystyle 0<1-x^{2018}<1$이다.따라서 $\displaystyle 0<|x|<1$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(1-x^{2018})=(1-x^{2018})(2-x^{2018})$이다.

그러므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}f(1-x^{2018})=\lim_{x\to0}(1-x^{2018})(2-x^{2018})=2$이다.