자연계열 1번

점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{B}(b,a)$는 곡선 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$위의 점이다.한편, $\displaystyle y=f(x)$의 역함수가 $\displaystyle y=4e^x-3$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{B}(b,a)$는 곡선 $\displaystyle y=4e^x-3$위의 점이다.점 $\displaystyle \mathrm{B}(b,a)$는 또한 곡선 $\displaystyle y=g(x)=e^{2x}$ 위의 점이므로,실수 $\displaystyle b$는 방정식 $\displaystyle e^{2x}=4e^x-3$, 즉 $\displaystyle e^{2x}-4e^x+3=0$의 해이다.

$\displaystyle t=e^x$라고 하면 이 방정식은 $\displaystyle t^2-4t+3=0$으로 나타낼 수 있고$\displaystyle (t-1)(t-3)=0$에서 $\displaystyle t=1,t=3$ 즉 $\displaystyle x=0,x=\ln3$임을 알 수 있다.$\displaystyle y=e^{2x}$에서 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle y=1,x=\ln3$일 때 $\displaystyle y=9$이므로 $\displaystyle D=\{(0,1)(\ln3,9)\}$이다.

$\displaystyle D$의 두 원소를 지나는 직선의 식이 $\displaystyle y=\frac{9-1}{\ln3-0}x+1=\frac{8}{\ln3}x+1$이므로$\displaystyle h(x)=\frac{8}{\ln3}x+1$이고 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle (0,1),(\ln3,9)$에서 만난다.또한 구간 $\displaystyle [0,\ln3]$에서 $\displaystyle h(x)\geq g(x)$이므로$\displaystyle S=\int_0^{\ln3}\left(\frac{8}{\ln3}x+1-e^{2x}\right)dx=\Biggl[\frac{4}{\ln3}x^2+x-\frac12e^{2x}\Biggr]_0^{\ln3}=5\ln3-4$