자연계열 2번

제시문 (ㄱ)에 따르면 함수 $\displaystyle f(x)-x$는 $\displaystyle x=4$에서 극솟값을 가지고 $\displaystyle x=2$에서 극댓값을 가지므로,$\displaystyle f(x)-x=m(x-k)(x-4)^2$형태를 갖고 있음을 알 수 있다.이를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)-1=m[(x-4)^2+2(x-k)(x-4)]$를 얻는다.이 때 (가)에서는 $\displaystyle f(4)=4$이고 $\displaystyle f(2)=6$임을 알 수 있고, (다)에서는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=1$임을 알 수 있으므로,위 식에 $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle 4=4m(2-k)$이고 $\displaystyle 0=m(4-4(2-k))$이다. 따라서 $\displaystyle k=1$이고, $\displaystyle m=1$이다.즉, $\displaystyle f(x)=(x-1)(x-4)^2+x=x^3-9x^2+25x-16$을 얻는다.

점 $\displaystyle (0,a)$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 내린 접선의 접점을 $\displaystyle (p,f(p))$라고 하면,점 $\displaystyle (0,a)$까지의 평균변화율과 접점에서의 미분계수가 같으므로 $\displaystyle \frac{f(p)-a}{p}=f^{\prime}(p)$이고,$\displaystyle pf^{\prime}(p)-f(p)+a=2p^3-9p^2+16+a=0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle g(x)=2x^3-9x^2+16+a=0$라고 하면$\displaystyle g(x)=0$의 해의 개수가 하나가 되는 실수 $\displaystyle a$의 조건을 찾으면 된다.

$\displaystyle g^{\prime}(x)=6x^2-18x=6x(x-3)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 근이 $\displaystyle x=0,3$ 두 개 존재하고,따라서 $\displaystyle g(x)$의 극댓값은 $\displaystyle g(0)=16+a$, 극솟값은 $\displaystyle g(3)=-11+a$이다.삼차함수 $\displaystyle g(x)$는 극댓값이 $\displaystyle 0$보다 작거나 극솟값이 $\displaystyle 0$보다 클 경우에만 해가 하나뿐이므로,원하는 $\displaystyle a$의 조건은 $\displaystyle 16+a<0$ 또는 $\displaystyle -11+a>0$이 된다. 따라서 집합 $\displaystyle L$은 $\displaystyle \{a\mid a>11\text{ 또는 }a<-16\}$이다.

원점에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 내린 접선의 접점을 $\displaystyle (t,f(t))$라고 하면,마찬가지로 $\displaystyle tf^{\prime}(t)-f(t)=2t^3-9t^2+16=0$이 성립한다.제시문 (ㄱ)의 (가)에 의하면 $\displaystyle y=x$가 이 중 하나의 접선이므로 $\displaystyle t=4$가 하나의 해이다.따라서 인수분해하면 $\displaystyle (t-4)(2t^2-t-4)=0$이고 이차방정식의 풀이에 의해 $\displaystyle t=47,\frac{1+\sqrt{33}}{4}$가Correction. 원문의 $\displaystyle 47$은 $\displaystyle 4$의 오기이며, 해 $\displaystyle \frac{1-\sqrt{33}}4$가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.모든 접점의 $\displaystyle x$좌표이다. 모든 접점의 $\displaystyle x$좌표의 합 $\displaystyle S$는 $\displaystyle \frac92$이다.