자연계열 3번

제시문 (ㄴ)의 조건으로부터 $\displaystyle a_{n+1}=n!(n+1)!+a_n,\;a_{n+2}=n!(n+1)!(1+(n+1)(n+2))+a_n$이다.따라서 제시문 (ㄷ)의 식은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}a_n+(n^2+3n+3)n!(n+1)!&=(n^2+an+3)(n!(n+1)!+a_n)+(-n^2+b_n-2)a_n\\&=(n^2+an+3)n!(n+1)!+a_n((a+b)n+1)\end{aligned}$Correction. 제시문에서 $\displaystyle g(n)=-n^2+bn-2$이므로 이 줄의 $\displaystyle b_n$은 $\displaystyle bn$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉, $\displaystyle 3$보다 크거나 같은 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle (3-a)n!(n+1)!=(a+b)a_n$이 항상 성립하는실수 $\displaystyle a,b$를 찾아야 한다.

1) $\displaystyle a\ne3$인 경우 $\displaystyle 3$보다 크거나 같은 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a+b}{3-a}=\frac{n!(n+1)!}{a_n}$이다. 한편,$\displaystyle a_n=1!2!+2!3!+\cdots+(n-1)!n!<(n-1)!n!+\cdots+(n-1)!n!=(n-1)(n-1)!n!<n!n!$이므로$\displaystyle \frac{a+b}{3-a}=\frac{n!(n+1)!}{a_n}>n+1$이다. 이 때, $\displaystyle n\geq3$인 자연수 $\displaystyle n$ 중에 $\displaystyle \frac{a+b}{3-a}$ 보다 큰 $\displaystyle n$을 생각하면부등식 $\displaystyle \frac{a+b}{3-a}>n+1$이 성립하지 않는다. 따라서 $\displaystyle a\ne3$ 경우,$\displaystyle \frac{a+b}{3-a}=\frac{n!(n+1)!}{a_n}$이 항상 성립할 수는 없다.

2) $\displaystyle a=3$인 경우 $\displaystyle b=-3$일 때에만 $\displaystyle n\geq3$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle (3-a)n!(n+1)!=(a+b)a_n$이 성립한다.따라서 $\displaystyle a=3,\;b=-3$이고 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle f(x),g(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(n)=x^2+3x+3,\;g(x)=-x^2-3x-2$Correction. 오른쪽 식의 변수가 $\displaystyle x$이므로 왼쪽의 $\displaystyle f(n)$은 $\displaystyle f(x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

논제 1에 의해서 $\displaystyle f(n)=n^2+3n+3,\;g(n)=-n^2-3n-2$이다. 따라서 제시문 (ㄹ)의 $\displaystyle A$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}A&=\sum_{n=3}^{25}\frac{f(n)+g(n)}{g(n)}\\&=\sum_{n=3}^{25}\frac{-1}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=3}^{25}\left(\frac1{n+2}-\frac1{n+1}\right)\\&=\frac1{27}-\frac14=-\frac{23}{108}\end{aligned}$