자연계열 1번

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)(x^{2}-4)}{e^{x}}$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{x\,(x^{2}-2x-6)}{e^{x}}$이므로방정식 $\displaystyle x^{2}-2x-6=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha=1-\sqrt{7}$, $\displaystyle \beta=1+\sqrt{7}$라 할 때,함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccccccc}x&\cdots&-2&\cdots&\alpha&\cdots&-1&\cdots&0&\cdots&2&\cdots&\beta&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&+&+&0&-&-&-&0&+&+&+&0&-\\\hline f(x)&\nearrow&0&\nearrow&f(\alpha)&\searrow&0&\searrow&-4&\nearrow&0&\nearrow&f(\beta)&\searrow\end{array}$따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극솟값, $\displaystyle x=\alpha$, $\displaystyle x=\beta$에서 극댓값을 가진다.

그러므로 $\displaystyle A=f(\alpha)f(\beta)=\frac{(\alpha+1)(\alpha^{2}-4)(\beta+1)(\beta^{2}-4)}{e^{\alpha+\beta}}$이다.$\displaystyle \alpha+\beta=2$, $\displaystyle \alpha\beta=-6$이므로$\displaystyle A=\frac{(\alpha\beta+\alpha+\beta+1)(\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4)(\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4)}{e^{2}}=\frac{(-3)\times(-6)\times2}{e^{2}}=\frac{36}{e^{2}}$이다.

열린구간 $\displaystyle (1,\,2026)$에서 유일한 극값은 $\displaystyle f(\beta)$이고

$\displaystyle f(1)=-\frac{6}{e}<0$, $\displaystyle 0<f(2026)<f(\beta)$이므로$\displaystyle m=f(1)=-\frac{6}{e}$, $\displaystyle M=f(\beta)=\frac{22+8\sqrt{7}}{e^{1+\sqrt{7}}}$이다.