자연계열 2번

이차함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 대칭축을 $\displaystyle x=h$라고 하면 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle h$이다.이 때, 실수 $\displaystyle c$에 대하여 방정식 $\displaystyle f(x)=c$가 서로 다른 두 실근을 가지면 두 실근의 합은 $\displaystyle 2h$이다.$\displaystyle f(x)=t$라고 할 때,1) 만일 $\displaystyle f(t)=4$가 서로 다른 두 근 $\displaystyle t=t_{1},\,t_{2}\quad(t_{1}<t_{2})$를 갖는다면,$\displaystyle f(f(x))=4$를 만족하는 서로 다른 실수 $\displaystyle x$가 2개이고 이차항의 계수가 양수이므로,$\displaystyle f(x)=t_{1}$은 근이 없고 $\displaystyle f(x)=t_{2}$는 두 개의 서로 다른 실근을 가져야 한다.이 두 실근은 $\displaystyle f(f(x))=4$를 만족시키고 두 근의 합은 $\displaystyle 2h$이다. $\displaystyle 2h=6$에서 $\displaystyle h=3$이다.

2) $\displaystyle f(t)=4$가 중근 $\displaystyle t_{0}$를 갖는 경우, $\displaystyle f(x)=t_{0}$를 만족시키는 두 실근의 합이 $\displaystyle 2h$이므로 $\displaystyle h=3$이다.이 때, 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle (3,4)$이고 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle 4$이므로 $\displaystyle t_{0}=3$이다.이차항의 계수가 양수이므로 $\displaystyle f(x)=t_{0}$은 실근을 갖지 않고, 이 경우는 불가능하다.따라서 $\displaystyle h=3$이고, 구하고자 하는 이차함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 3$이다.

이차함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 대칭축을 $\displaystyle x=k$라고 하면 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle k$이고,실수 $\displaystyle c$에 대하여 방정식 $\displaystyle g(x)=c$가 서로 다른 두 실근을 가지면 두 실근의 합은 $\displaystyle 2k$이다.논제 1과 마찬가지로 $\displaystyle g(x)=t$라고 하면 $\displaystyle g(t)=4$는 서로 다른 두 근 $\displaystyle t=t_{1},\,t_{2}$을 가져야 하고,$\displaystyle g(x)=t_{1}$과 $\displaystyle g(x)=t_{2}$ 또한 서로 다른 실근을 두 개씩 가져야 하며, 이 네 실근은 모두$\displaystyle g(g(x))=4$을 만족시킨다. 이때 두 실근의 합이 각각 $\displaystyle 2k$이므로 네 실근의 합은 $\displaystyle 4k$가 된다.$\displaystyle 4k=6$에서 $\displaystyle k=\frac{3}{2}$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)=a(x-\frac{3}{2})^{2}+b$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle g(2)=-2$이므로 $\displaystyle b=-2-\frac{a}{4}$이다.임의의 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle h(x)=2^{x}>0$이므로, $\displaystyle g(h(x))=2$가 하나의 근만 갖기 위해서는두 근 중 하나는 양수이고 다른 하나는 $\displaystyle 0$이하여야 한다.방정식 $\displaystyle g(x)-2=a(x-\frac{3}{2})^{2}-4-\frac{a}{4}=0$의 근은 $\displaystyle x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{4}{a}+\frac{1}{4}}$이고, $\displaystyle a=2$일 때는하나의 양의 실근, $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$이상인 자연수일 때는 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖는다.따라서 $\displaystyle a=2$이고 $\displaystyle g(x)=2x^{2}-6x+2$이다.