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자연계열 6번

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중앙대 2010학년도 수시 2차 자연계열 6번 · mathesis.kr/archive/cau/2010su/jayeon_6

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문제

(다) 카오(Charles K. Kao)는 현대 정보화 사회의 기반이 되는 광통신 기술을 개발한 공로로 2009년 노벨 물리학상 수상자에 선정되었다. 광통신에서는 매우 가늘고 투명한 유리 섬유인 광섬유로 빛을 전송하며, 그는 작지만 강력한 레이저를 광원으로 이용한다. 광통신에 관한 연구가 처음 시작되었던 1960년대 초에는 광섬유의 성능이 좋지 않아서 빛이 광섬유를 통해 20m만 진행해도 99% 이상이 손실되었다. 카오는 빛이 1km를 진행할 때 그 손실이 99% 이하로 유지되는 광섬유를 목표로 연구를 시작했는데, 1971년 유리 제조사 코닝의 과학자들이 카오가 제시한 기준에 부합하는 광섬유를 제작하는 데 세계 최초로 성공하였다. 오늘날의 광섬유는 빛이 1km를 진행하면 겨우 2% 정도의 손실만을 보일 만큼 탁월한 성능을 가지고 있다. 이러한 광섬유가 지구를 2만 5천 바퀴 이상 감을 수 있는 길이로 세계 곳곳에 깔려 있으며 이를 통해 우리는 세계 모든 나라와 빛의 속도로 정보를 교환하며 살고 있다.

(라) 빛 또는 전기신호가 매질을 통과할 때 발생하는 증폭 또는 손실을 표시하기 위해, 공학에서 자주 사용되는 단위 중 하나가 dB(데시벨)이다.

매질을 통과하는 신호의 입력과 출력

위의 그림과 같이, 신호가 매질을 통과하기 전 신호의 세기를 PIN\displaystyle P_{IN}, 통과 후 신호의 세기를 POUT\displaystyle P_{OUT}이라 할 때, 신호의 손실을 dB로 계산하면 식(1)과 같이 정의된다.

손실 [dB]=−10log⁡10(POUTPIN)(1)\displaystyle =-10\log_{10}\left(\frac{P_{OUT}}{P_{IN}}\right)\qquad(1)

한편, 증폭기 등을 사용할 때와 같이 신호가 증폭되는 경우, 신호의 증폭률을 dB로 나타낼 수 있는데, 증폭률은 식(2)와 같이 정의된다.

증폭률 [dB]=10log⁡10(POUTPIN)(2)\displaystyle =10\log_{10}\left(\frac{P_{OUT}}{P_{IN}}\right)\qquad(2)

dB 단위는 로그를 사용하여 표현되기 때문에 큰 값을 나타내기 쉽고, 여러 매질이 연속적으로 연결되어 있을 경우 총손실 또는 총증폭률을 계산하기 용이하다는 장점이 있다.

[문제 6] 아래 그림과 같이 A지점에서 B지점으로 광신호를 전송하면서 광섬유에서 발생하는 손실을 보상하기 위해 증폭기를 이용하여 주기적으로 신호를 증폭하려 한다. 광섬유의 일정 길이 100km마다 증폭기가 하나씩 모두 N개 설치되어 있다. 모든 증폭기의 증폭률이 y dB로 동일한 경우, A지점과 B지점에서 신호의 크기가 같아지기 위한 조건을 구하는 과정을 제시문 (다), (라)를 참조하여 논리적으로 설명하시오. 단, 광섬유에서 발생하는 손실은 1km당 11%로 가정하고, 필요 시 [문제 5]에 주어진 그래프를 참조하시오. (힌트: 손실이 각각 α\displaystyle \alpha dB, β\displaystyle \beta dB인 두 매질이 연결되어 있는 경우의 손실을 계산해 볼 것) [20점, 답안지 15줄 이내]

광섬유 100km마다 놓인 N개의 증폭기
지수함수 10의 x제곱 그래프
해설강의 준비중

로그

관련 개념강의 준비중

중앙대 2010학년도 수시 2차 자연계열 6번 · mathesis.kr/archive/cau/2010su/jayeon_6

+5점 · 두 매질 손실의 합

손실이 α\displaystyle \alphadB, β\displaystyle \betadB인 두 매질이 연결되어 있다면, 첫 매질을 통과한 후 신호 세기는

POUT=10−α10×PIN\displaystyle P_{OUT}=10^{-\frac\alpha{10}}\times P_{IN}

이며, 첫 매질 후 POUT\displaystyle P_{OUT}은 다음 매질의 PIN\displaystyle P_{IN}이 되므로 두 매질을 통과한 후 신호의 세기는

POUT=10−α10×10−β10×PIN=10−α+β10×PIN\displaystyle P_{OUT}=10^{-\frac\alpha{10}}\times10^{-\frac\beta{10}}\times P_{IN}=10^{-\frac{\alpha+\beta}{10}}\times P_{IN}

이다. 위 식에서 제시문의 식 (1)에 의해 dB 손실은 다음과 같다.

−10×log⁡(POUTPIN)=α+β\displaystyle -10\times\log\left(\frac{P_{OUT}}{P_{IN}}\right)=\alpha+\beta

따라서 dB 단위로 계산하는 경우 전체 손실은 각 매질 손실의 합으로 표현된다.

+5점 · 광섬유의 손실 환산

또한 1km 광섬유의 손실이 11%이므로 통과하는 비율은 89%이다. [문제 5]의 그래프를 통해 1km 광섬유의 손실을 dB로 환산하면 0.5dB이다. 이상의 결과에 의해 100km 광섬유에서 빛의 손실은 50dB임을 추론할 수 있다.

+5점 · 증폭률과 손실의 상쇄

제시문 (마)의 식 (1), (2)를 비교해 보면, 증폭기의 증폭률 y는 손실로 생각할 경우 -y에 해당한다.

+5점 · y와 N의 관계

증폭기 N개와 광섬유 N+1개의 dB 손실을 모두 더하면 두 지점 A, B 사이 전송 손실이 되므로 그 결과는 다음과 같다.

전체 손실 [dB]=50(N+1)−Ny\displaystyle =50(N+1)-Ny

두 지점에서 신호의 세기가 같은 경우, 제시문 (마)의 식(1)에 의해 손실이 0dB에 해당하므로 다음과 같은 조건을 얻게 된다.Correction. 식 (1), (2)를 가리키는 ‘제시문 (마)’는 ‘제시문 (라)’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

y=50(N+1)N=50(1+1N)\displaystyle y=\frac{50(N+1)}N=50\left(1+\frac1N\right)

계산 검증 없이 손실이나 증폭률을 그냥 더하면 해당 단계 2점. 환산 부호를 반대로 쓰면 해당 단계 2점. 로그식 대신 지수식을 곱하거나 dB 단위를 쓰지 않고 전개해도 정확한 조건이면 20점, 식은 맞으나 계산 실수가 있으면 10점.

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