자연계열 6번

(나) 사이클로이드(cycloid)는 놀라움을 간직한 신비의 곡선으로, 파스칼이 사이클로이드를 연구하며 고통스러운 치통을 잊었다는 일화가 있을 만큼 이 곡선의 아름다움에 매료된 사람이 많았다. 사이클로이드란 바퀴라는 의미의 그리스어에서 나온 말로 아래 그림과 같이 굴러가는 바퀴 상의 한 점의 궤적을 나타낸다.

$\displaystyle x=a(\theta-\sin\theta)$

$\displaystyle y=a(1-\cos\theta)$

1696년 베르누이는 유럽의 물리학자들에게 ‘브라키스토크론(brachistochrone: 그리스어로 ‘가장 짧다’는 의미의 ‘brakistos’와 ‘시간’을 의미하는 ‘kronos’를 합친 말) 문제’라는 것을 낸 적이 있었다. 이는 위아래로 비스듬하게 떨어진 두 지점 사이에서 어떤 경로를 따라 내려가는 것이 가장 빨리 내려갈 수 있는지를 찾는 것이었다. 단순하게 생각하면 직선 경로가 최단 거리이기 때문에 가장 빠를 것 같지만 실제로는 사이클로이드를 뒤집은 형태의 곡선을 따라 내려가는 것이 가장 빠르다. 독수리는 먹이를 향해 낙하할 때 이 곡선 형태에 가깝게 낙하한다. 땅 위에 있는 먹이를 잡을 때 직선이 아닌, 최단 시간이 소요되는 곡선을 그리며 목표물로 향하는 것이다. 또한 우리나라 전통 가옥의 기와 역시 사이클로이드를 뒤집은 곡선의 모양을 하고 있어 빗물로 인한 목조건물의 부식을 막는 데 도움이 된다.

(라) 다음 그림에서 C는 중심이 O이고 반지름이 r인 원이다. 임의의 점 P에 대하여, 원 C에 대한 P의 역점(inverse) Q는, 반직선 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ 위의 점으로 선분 $\displaystyle \overline{OP}$의 길이와 선분 $\displaystyle \overline{OQ}$의 길이의 곱이 $\displaystyle r^2$과 같은 점이다. 이때 P는 O가 아닌 점이다. 예를 들어, 점 P가 원 C 위에 있다면 P의 역점인 Q는 점 P와 같은 점이 된다. 그리고 점 P가 원 C의 내부에 있다면 점 Q는 원 C의 외부에 있게 된다. 반대로 점 P가 원 C의 외부에 있다면 점 Q는 원 C의 내부에 있게 된다.

한편, 두 원 C, D가 직교한다는 것은, 아래 그림과 같이 두 원의 교점에서 두 원에 접하는 직선들이 서로 직교한다는 뜻이다. 즉, 점 O가 원 C의 중심, 점 E가 원 D의 중심, 점 T가 두 원의 교점이라고 할 때 두 원이 직교하면 두 직선 $\displaystyle \overline{OT}$와 $\displaystyle \overline{ET}$는 서로 직교한다.