자연계열 II 3번

중앙대 2012학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2012su/jayeon2_3

(가) 골격 근육은 신경 자극에 의하여 수축과 이완을 할 수 있는 특수한 성질을 가진 조직이다. 골격 근육은 그 색깔과 특징에 의해 백색 근육과 적색 근육의 두 종류로 나눌 수 있다. 백색 근육은 ‘속근’이라고도 하며 빠른 속도의 운동이 가능하여 점프, 전력 질주, 아령 운동 등의 무산소 운동에 주로 사용되고, 적색 근육은 ‘완근’이라고도 하며 오랜 시간 동안 사용이 가능하여 마라톤, 조깅, 산책, 사이클링, 수영 등 유산소 운동에 주로 사용된다. 백색 근육과 적색 근육은 골격 근육 조직 내에 함께 존재하며, 두 근육이 같은 힘을 낼 때 소비하는 생체 에너지의 양은 서로 다르다.

근육의 수축은 액틴(actin)과 미오신(myosin)의 상호작용에 의해 일어난다. 그림 (1)은 근육의 수축 과정을 설명하는 모식도이며, A는 액틴, M은 미오신이다. 미오신이 ATP와 결합하면서 액틴과 분리되고, 이어서 ATP가 ADP와 인산(P)으로 분해되면 근육은 수축 가능한 상태가 된다. 신경을 통해 근육으로 수축 신호가 전달되면 미오신이 액틴과 다시 결합한 후, ADP와 인산을 방출하면서 액틴을 끌어당긴다. 근육이 수축될 때, 이 과정은 반복적으로 일어난다.

(나) 인체는 주변온도가 변하여도 평균체온을 유지하려 한다. 그림 (2)에서 주변온도가 A보다 낮아져 열손실이 증가하면, 우리 몸은 체온의 저하를 막기 위해 몸을 떠는 등의 방식으로 대사율을 높여 많은 열을 만들어 냄으로써 일정한 체온을 유지한다. 주변온도가 B보다 높아지면 우리 몸은 체온의 상승을 막기 위해 숨을 헐떡이거나 땀을 흘림으로써 열을 방출하는데 이 때에도 대사율이 높아진다. 주변온도가 변할 때 평균체온을 유지하는 능력은 우리 몸이 갖고 있는 항상성 유지의 좋은 예이다.

[문제 3] 제시문 (나)에서 설명한 바와 같이 사람은 체온의 항상성을 유지하기 위하여 생체 에너지를 소비하기도 하고, 근육을 수축시켜 운동을 하는데 소비하기도 한다. 운동역학적으로 인체의 근육은 이 생체 에너지를 효율적으로 소비하는 방향으로 동작한다. 사람이 팔을 움직일 때 제시문 (가)에서와 같이 팔의 백색 근육 다발과 적색 근육 다발이 생체 에너지를 소비하여 힘을 내고, 이 힘으로 물건을 들거나 관절을 움직인다.

예를 들어, 아래 그림은 사람이 한 팔로 가방을 들고 있는 상황의 모식도이다. 이 팔에는 백색 근육 다발과 적색 근육 다발이 각각 한 개씩 있고 그 외의 조직은 없다고 하자. 이 근육 다발들이 함께 힘을 내어 가방을 잡고 있다. 이 사람의 팔에 있는 백색 근육 다발과 적색 근육 다발이 각각 x와 y의 힘으로 동작할 때 단위 시간 당 필요한 생체 에너지 $\displaystyle E_1$ 와 $\displaystyle E_2$ 이 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle E_1=2x^2+4x$

$\displaystyle E_2=y^2+6y$

가방에 가해지는 중력은 23N이고 이 힘은 팔의 근육에 의해 가해지는 힘과 평형을 이루고 있다. 생체 에너지 소비를 최소화하면서 근육이 동작한다고 할 때, $\displaystyle F_1$ 와 $\displaystyle F_2$ 을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [20점]

해설강의 준비중

이차함수와 그 활용

관련 개념강의 준비중

중앙대 2012학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2012su/jayeon2_3

+5점 · 힘의 평형식

백색 근육 다발과 적색 근육 다발이 내는 힘과 중력의 평형 식은 x+y=23이다.

+5점 · 생체 에너지 식

이 사람이 소비하는 생체 에너지는 $\displaystyle E_T=E_1-E_2=2x^2-4x+y^2-6y=2(x-1)^2+(y+3)^2-11$ 이다.

+7점 · 최소화 과정

힘 평형 식을 에너지 식에 대입하면 다음과 같은 이차식의 최솟값을 구하는 문제가 된다.

$\displaystyle \begin{aligned}E_T&=2(x+1)^2+(-x+26+3)^2-11\\&=3x^2-48x+667=3(x-8)^2+475\end{aligned}$ Correction. 문제에서 구하라는 $\displaystyle F_1,F_2$ 는 앞에서 각각 $\displaystyle x,y$ 로 나타낸 두 근육의 힘을 뜻하는 것으로 보인다. 예시답안의 $\displaystyle E_1-E_2$ , $\displaystyle -4x$ , $\displaystyle -6y$ , $\displaystyle (x-1)^2$ , $\displaystyle (-x+26+3)^2$ 는 각각 $\displaystyle E_1+E_2$ , $\displaystyle +4x$ , $\displaystyle +6y$ , $\displaystyle (x+1)^2$ , $\displaystyle (-x+23+3)^2$ 의 오기로 보인다. $\displaystyle E_T=2x^2+4x+y^2+6y=2(x+1)^2+(y+3)^2-11.$ $\displaystyle y=23-x$ 를 대입하면 $\displaystyle E_T=3(x-8)^2+475$ 이므로 최종 결과 $\displaystyle x=8,\ y=15$ 는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · 정답

따라서 백색 근육 다발의 힘 x=8N일 때 전체 생체 에너지 소비가 최소이다. 이 때 적색 근육 다발의 힘 y=15N이다.

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