자연계열 I 1번

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon1_1

[문제 1] K 마트는 고객이 물건을 1회 구매할 때마다 유명 연예인의 사진을 한 장씩 주는 이벤트를 시작할 예정이다. 사진의 종류는 총 3가지이고 구매자가 사진의 종류를 고를 수 없으며, 각각의 사진을 받을 확률은 다음과 같다. (단, $\displaystyle 0<p<1$ , $\displaystyle 0<q<1$ , $\displaystyle 0<r<1$ 이고 $\displaystyle p+q+r=1$ 을 만족한다.)

사진	A	B	C	합계
확률	$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle r$	1

영희는 사진 A를, 철수는 사진 B와 C 모두를 받기 위해 물건을 구매하려 한다. 영희가 물건을 5회 구매할 확률과, 철수가 물건을 10회 구매할 확률을 각각 구하시오. (단, 영희와 철수는 원하는 사진을 갖게 되면 더 이상 물건을 구매하지 않는다.) [20점]

해설강의 준비중

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+4점 · 영희: 4회 구매까지는 사진 B 또는 C만을 가지는 것을 이해하는가

● 영희가 5회 구매하는 것은, 4회 구매까지는 사진 B 또는 C만을 가지게 되고

+3점 · 영희: 5회 구매에서 사진 A를 처음으로 가지게 됨을 이해하는가

5회 구매에서 사진 A를 가지는 것이다. 따라서, 그 확률은 다음과 같다.P(영희 5회 구매) $\displaystyle =\left\{\sum_{i=0}^4{}_4\mathrm C_iq^ir^{4-i}\right\}p=(q+r)^4p=(1-p)^4p$

● 철수가 10회 구매하는 것은, 10회 구매에 사진 B 또는 C 중 한 가지를 처음으로 가지게 되는 경우다. 즉, 9회까지는 사진 B를 가졌지만 C가 없는 경우와 9회까지는 사진 C를 가졌지만 B가 없는 경우다. 따라서, 그 확률은 다음과 같다.

+7점 · 철수: 10회 구매에서 드디어 사진 B(또는 C)를 가지는 경우를 정확하게 계산하면

+3점 · 철수: 두 경우를 모두 정확하게 계산하면

+3점 · 철수: 두 가지 경우의 관련 확률을 더하여, P(철수 10회 구매)의 값을 정확하게 계산하면

● P(철수 10회 구매) = P(10회째 드디어 사진 C) + P(10회째 드디어 사진 B) $\displaystyle =\left\{\sum_{i=0}^8{}_9\mathrm C_ip^iq^{9-i}\right\}r+\left\{\sum_{i=0}^8{}_9\mathrm C_ip^ir^{9-i}\right\}q=((p+q)^9-p^9)r+((p+r)^9-p^9)q$

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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