자연계열 3-1번

두 식 $\displaystyle y=b-ax^2$와 $\displaystyle x^2+y^2-2y=0$을 연립하여 $\displaystyle y$에 관한 이차방정식 $\displaystyle y^2-\left(a+\frac12\right)y+\frac ba=0$을얻는다. 포물선이 원에 외접하므로 이 이차방정식은 중근을 갖는다. 따라서 $\displaystyle D=\left(a+\frac12\right)^2-4\cdot\frac ba=0$에서Correction. [3-1] 대학 답안의 이차방정식과 판별식에 적힌 $\displaystyle a+\frac12$는 $\displaystyle 2+\frac1a$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle b=\frac a4\left(2+\frac1a\right)^2=a+\frac1{4a}+1$을 얻는다.$\displaystyle b=a+\frac1{4a}+1>2$이므로 $\displaystyle a>0$이다. 포물선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle h(a)$라 하면,$\displaystyle h(a)=\int_{-\sqrt{b/a}}^{\sqrt{b/a}}(b-ax^2)\,dx=2\int_0^{\sqrt{b/a}}(b-ax^2)\,dx=\frac{4b}3\sqrt{\frac ba}=\frac a6\left(2+\frac1a\right)^3$이다.

$\displaystyle a>0$에서 $\displaystyle h^{\prime}(a)=\frac13\left(2+\frac1a\right)^2\left(1-\frac1a\right)=0$에서 $\displaystyle a=1$을 얻는다. $\displaystyle h(1)=\frac92$이므로넓이의 최솟값은 $\displaystyle \frac92$이다.