중앙대 2023학년도 수시 경영경제계열 3번 해설

● 다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

어느 자동차 보험회사에서는 보험 계약자를 세 그룹으로 분류하고 그룹 이름을 각각 저위험군, 중위험군, 고위험군으로 명명하였다. 이 보험회사는 직전 1년 동안 발생한 계약자의 사고 횟수에 따라 계약자가 속하는 그룹을 해마다 1월 1일에 재분류한다. 다음의 표는 올해 1년 동안 발생한 사고 횟수에 따라 각 그룹에 속했던 계약자들이 내년에 어느 그룹에 속하게 될지를 나타낸 것이다. 예를 들어, 올해 저위험군에 속한 계약자의 사고 횟수가 한 번일 때 내년에 중위험군으로 재분류된다.

사고 횟수 $\displaystyle X$ 에 따라 재분류될 내년의 계약자 그룹

		$X=0$	$X=1$	$X=2$	$X\ge3$
	저위험군	저위험군	중위험군	중위험군	고위험군
올해의 계약자 그룹	중위험군	저위험군	중위험군	고위험군	고위험군
	고위험군	중위험군	고위험군	고위험군	고위험군

사고 횟수 $\displaystyle X$ 는 계약자 그룹에 상관없이 다음과 같은 확률분포를 따른다고 한다.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	4 이상	합계
$\mathrm P(X=x)$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.2$	$0.2$	$1$

저위험군, 중위험군, 고위험군 그룹에 속한 계약자에 대한 연 보험료는 각각 40만 원, 50만 원, 60만 원이다.

[문제 3] 올해 계약자 그룹의 재분류 후 저위험군, 중위험군, 고위험군 그룹에 속한 계약자 수가 각각 200명, 300명, 100명이라고 하자. 보험회사가 내년에 계약자들로부터 받을 연 보험료 총액의 기댓값을 구하시오. 단, 보험 계약자의 추가 및 해약은 없다고 가정한다. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

중앙대 2023학년도 수시 경영경제계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/gyeongyeong_3

+6점 · 내년의 계약자 그룹의 확률 구조(<표 1> 참조)를 정확하게 이해한 경우

▶ 올해의 각 계약자 그룹이 내년에 속하게 될 그룹에 대한 확률은 다음과 같다.

<표 1> 내년의 계약자 그룹: 확률

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}&&\text{저위험군}&\text{중위험군}&\text{고위험군}\\\hline&\text{저위험군}&0.1&0.5\;(=0.2+0.3)&0.4\;(=0.2+0.2)\\\text{올해의 계약자 그룹}&\text{중위험군}&0.1&0.2&0.7\;(=1-0.3)\\&\text{고위험군}&0&0.1&0.9\;(=1-0.1)\end{array}$

+6점 · 내년의 계약자 그룹의 명수의 기댓값 구조(<표 2> 참조)를 정확하게 이해한 경우

▶ 내년의 각 그룹의 계약자 명수의 기댓값은 다음과 같다.

<표 2> 내년의 계약자 그룹: 명수 기댓값

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}&&\text{저위험군}&\text{중위험군}&\text{고위험군}\\\hline&\text{저위험군}&20\;(=200\times0.1)&100\;(=200\times0.5)&80\;(=200\times0.4)\\\text{올해의 계약자 그룹}&\text{중위험군}&30\;(=300\times0.1)&60\;(=300\times0.2)&210\;(=300\times0.7)\\&\text{고위험군}&0\;(=100\times0)&10\;(=100\times0.1)&90\;(=100\times0.9)\end{array}$

+5점 · 내년의 계약자 그룹의 보험료의 기댓값 구조(<표 3> 참조)를 정확하게 이해한 경우

▶ 내년의 각 그룹의 계약자 명수 및 보험료 합계의 기댓값은 다음과 같다.

<표 1> 내년의 계약자 그룹: 명수 및 보험료 합계의 기댓값Correction. 세 번째 표의 <표 1>은 <표 3>의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}&\text{저위험군}&\text{중위험군}&\text{고위험군}\\\hline\text{명수}&50&170&380\\\text{보험료}&2000\;(=50\times40)&8500\;(=170\times50)&22800\;(=380\times60)\end{array}$

+3점 · 내년의 연 보험료 총액의 기댓값 ‘33300(만원)’을 정확하게 계산한 경우

▶ 따라서, 내년의 연 보험료 총액의 기댓값은, $\displaystyle 2000+8500+22800=33300$ (만 원)이다.

* 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

* 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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