자연계열 2교시 3-2번

음함수 미분하여 다음을 얻는다.$\displaystyle (x-\cos t)(x^{\prime}+\sin t)+(\sqrt x-\sin t)\left(\frac{x^{\prime}}{2\sqrt x}-\cos t\right)=0$1) $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때, 대응하는 점은 B(1,1)이다. $\displaystyle t=\frac\pi2$, $\displaystyle x=1$ 대입하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이다.

2) $\displaystyle x$가 $\displaystyle t=\alpha$에서 최댓값을 가질 때 $\displaystyle x^{\prime}(\alpha)=0$임을 고려하면, $\displaystyle \sqrt x=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$이다.

식 $\displaystyle (*)$을 정리하면 $\displaystyle x^2-2x\cos t+x-2\sqrt x\sin t=0$이다. $\displaystyle \sqrt x=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$를 대입하면$\displaystyle \cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=2\sin^4\alpha$이 된다. $\displaystyle \sin^2t=1-\cos^2t$를 이용하여 정리하면 $\displaystyle 2\cos^2\alpha+\cos\alpha-2=0$이 되고 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{-1+\sqrt{17}}4$이다.

$\displaystyle x$값을 구하면 $\displaystyle x=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{9-\sqrt{17}}{\sqrt{17}-1}=\frac{\sqrt{17}-1}2$이다.구간 $\displaystyle 0\le t\le\pi$의 양 끝점에서 함수 값을 확인하자. $\displaystyle t=0$일 때, 대응하는 B는 $\displaystyle (1,1)$이고, $\displaystyle t=\pi$일 때, 대응하는 B는 $\displaystyle (0,0)$이다. $\displaystyle 1<\frac{\sqrt{17}-1}2$이므로 최댓값은 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{17}-1}2$이다.