자연계열 2-2번

점 $\displaystyle (0,n)$에서 $\displaystyle y=\ln x$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle (a,\ln a)$라 하면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac1a(x-a)+\ln a$이다. 이 접선이 $\displaystyle (0,n)$을 지나므로, $\displaystyle n=-1+\ln a$, 즉, $\displaystyle a=e^{n+1}$이다. 접선 $\displaystyle l_n$과 $\displaystyle l_{n+1}$의 방정식은 각각$\displaystyle l_n:y=e^{-n-1}x+n,\quad l_{n+1}:y=e^{-(n+2)x}+(n+1)$이다.Correction. 접선의 방정식에서 $\displaystyle e^{-(n+2)x}$는 $\displaystyle e^{-(n+2)}x$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \tan\theta_n=e^{-(n+1)}$, $\displaystyle \tan\theta_{n+1}=e^{-(n+2)}$이므로, 탄젠트 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \tan(\theta_n-\theta_{n+1})=\frac{e^{n+2}-e^{n+1}}{e^{2n+3}+1}$이다.

한편, $\displaystyle l_n$과 $\displaystyle l_{n+1}$의 교점은 $\displaystyle x=\frac1{e^{-n-1}-e^{-n-2}}$, $\displaystyle y=\frac e{e-1}+n$이다. 또한, $\displaystyle l_n$과 $\displaystyle l_{n+1}$의 $\displaystyle x$절편은 각각 $\displaystyle -ne^{n+1}$, $\displaystyle -(n+1)e^{n+2}$이다.

따라서, 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_n=\frac12((n+1)e^{n+2}-ne^{n+1})\left(\frac e{e-1}+n\right)$이고 주어진 극한$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{S_n\tan(\theta_n-\theta_{n+1})}{n^2}&=\lim_{n\to\infty}\frac1{2n^2}((n+1)e^{n+2}-ne^{n+1})\left(\frac e{e-1}+n\right)\frac{e^{n+2}-e^{n+1}}{e^{2n+3}+1}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{2n^2}\frac{e^3-e^2}{e^3+e^{-2n}}((e-1)n+e)\left(n+\frac e{e-1}\right)=\frac{(e-1)^2}{2e}\end{aligned}$