수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2-1번

중앙대 2025학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/jayeon_2_1

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[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

• 수열을 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

• 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)이다.

• 탄젠트함수의 덧셈정리는 다음과 같다.tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡βtan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\qquad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

[문제 2-1] 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 a1=2\displaystyle a_1=2이고 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여an+1={an−4(an>0)an(an=0)an+d(an<0)\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}a_n-4&(a_n>0)\\a_n&(a_n=0)\\a_n+d&(a_n<0)\end{cases} (단, d\displaystyle d는 자연수)이다. 다음 성질을 만족하는 자연수 d\displaystyle d를 모두 구하시오. [10점]

am=0\displaystyle a_m=0을 만족하는 m\displaystyle m의 최솟값은 7이다.

해설강의 준비중

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[문제 2-1]

+2점 · 경우를 나누어 구하는 시도를 하면

수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 정의로부터 a7=0\displaystyle a_7=0, a6≠0\displaystyle a_6\ne0인 d\displaystyle d를 찾으면 된다는 것을 알 수 있다. 또한, a1=2\displaystyle a_1=2, a2=−2\displaystyle a_2=-2, a3=−2+d\displaystyle a_3=-2+d가 성립하고, a6=4\displaystyle a_6=4 혹은 −d\displaystyle -d이다.

- d=1,2\displaystyle d=1,2이면 a4=0  (d=1)\displaystyle a_4=0\;(d=1), a3=0  (d=2)\displaystyle a_3=0\;(d=2)이 되어 성립하지 않는다.

- d=3\displaystyle d=3이면 a5=−6+2d\displaystyle a_5=-6+2d가 되어 성립하지 않는다.

d>3\displaystyle d>3이므로, a4=−6+d\displaystyle a_4=-6+d이고 d≠6\displaystyle d\ne6이다.

- d=4,5\displaystyle d=4,5이면 a6=2  (d=4)\displaystyle a_6=2\;(d=4), a6=0  (d=5)\displaystyle a_6=0\;(d=5)가 되어 성립하지 않는다.

- d=7,8,9\displaystyle d=7,8,9이면 a6=−10+2d\displaystyle a_6=-10+2d가 되어 d=7\displaystyle d=7일 때 성립한다.

- d=10\displaystyle d=10이면, a5=0\displaystyle a_5=0이 되어 성립하지 않는다.

- d≥11\displaystyle d\ge11이면, a6=−14+d\displaystyle a_6=-14+d가 되어 d=18\displaystyle d=18일 때 성립한다.

+4점 · 7 혹은 18중 하나만 구했을 때 +4점 · 둘 다 구하면

그러므로, 주어진 조건을 만족하는 자연수 d\displaystyle d는 7\displaystyle 7 또는 18\displaystyle 18이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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