자연계열 3-2번

• 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

• 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

• 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이다.