자연계열 3번

$\displaystyle y=x\ln x-x$로 치환하고 $\displaystyle (x\ln x-x)^{\prime}=\ln x$를 고려하여 치환적분하면 아래와 같다.$\displaystyle \int_1^e(x\ln x-x)^n\ln x\,dx=\int_{-1}^0 y^n\,dy=\frac{(-1)^n}{n+1}$

따라서 $\displaystyle a_ka_{k+1}=\frac{-1}{(k+1)(k+2)}$이고, 구하는 값은 아래와 같다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{2024}a_ka_{k+1}=-\sum_{k=1}^{2024}\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)=-\frac{506}{1013}$

$\displaystyle y$에 대하여 인수분해하면 $\displaystyle (y-x^2)(y-x-1)=0$이다. $\displaystyle y=x^2$이거나 $\displaystyle y=x+1$이다.

(1) $\displaystyle y=x^2$인 경우 $\displaystyle \mathrm{P}(t,t^2)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2$을$\displaystyle f(t)=(t-1)^2+t^4+(t-5)^2+t^4=2t^4+2t^2-12t+26$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(t)=8t^3+4t-12=4(t-1)(2t^2+2t+3)$이므로 $\displaystyle t=1$에서 최솟값 $\displaystyle f(1)=18$을 갖는다.

(2) $\displaystyle y=x+1$인 경우 $\displaystyle \mathrm{P}(t,t+1)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2$을$\displaystyle g(t)=4t^2-8t+28$라 하자. $\displaystyle t=1$에서 최솟값 $\displaystyle g(1)=24$을 갖는다. 최솟값은 $\displaystyle 18$이다.