중앙대 2025학년도 수시 자연계열 1교시 4-1번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 점 P, 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 O, 점 O를 지나지 않는 $\displaystyle \alpha$ 위의 직선 $\displaystyle l$ , 직선 $\displaystyle l$ 위의 점 H에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}\perp l$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}\perp l$ 이다.

● 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 의 점근선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac bax$ , $\displaystyle y=-\frac bax$ 이다.

● 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.

[문제 4-1] 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체 ABCD-EFGH의 선분 AB, AD위에 점 P, Q가 각각 놓여 있다. 삼각형 PEG, QEG의 넓이가 각각 $\displaystyle \sqrt{10}$ 과 3일 때, 삼각형 EPQ의 넓이를 구하시오. [15점]

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[문제 4-1]

그림 (가), (나)와 같이 점 P, Q에서 선분 EF, EH에 내린 수선의 발을 각각 K, M이라고 하고 점 K, M에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 각각 L, N이라고 하자. 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PL}}\perp\overline{\mathrm{EG}}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QN}}\perp\overline{\mathrm{EG}}$ 이다.

직각이등변삼각형 EFG에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EG}}=2\sqrt2$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{10}=\triangle\mathrm{PEG}=\frac{\overline{\mathrm{EG}}\times\overline{\mathrm{PL}}}2$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PL}}=\sqrt5$ 이고 $\displaystyle 3=\triangle\mathrm{QEG}=\frac{\overline{\mathrm{EG}}\times\overline{\mathrm{QN}}}2$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{QN}}=\frac3{\sqrt2}$ 이다.

직각삼각형 PKL, QMN에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PL}}^2-\overline{\mathrm{PK}}^2}=1$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}=\sqrt{\overline{\mathrm{QN}}^2-\overline{\mathrm{QM}}^2}=\frac1{\sqrt2}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt2

를 구하면

직각이등변삼각형 KLE, ENM에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{EK}}=\sqrt{\overline{\mathrm{EL}}^2+\overline{\mathrm{KL}}^2}=\sqrt{\overline{\mathrm{KL}}^2+\overline{\mathrm{KL}}^2}=\sqrt2$ 와

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=1

을 구하면

$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{EM}}=\sqrt{\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2}=\sqrt{\overline{\mathrm{MN}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2}=1$ 을 얻는다.

+5점 ·

\displaystyle \triangle\mathrm{EPQ}=\frac{\sqrt{14}}2

를 구하면

그림 (다)와 같이 점 A에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 R라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}\perp\overline{\mathrm{ER}}$ 이다. 직각삼각형 QAP에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{AQ}}^2}=\sqrt3$ 이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2=\frac{\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AQ}}}2=\triangle\mathrm{APQ}=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{AR}}}2$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ 이다. 직각삼각형 RAE에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{ER}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AR}}^2+\overline{\mathrm{AE}}^2}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt3}$ 이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{EPQ}=\frac12\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{ER}}=\frac{\sqrt{14}}2$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 4-1번

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