자연계열 1교시 4번

직각이등변삼각형 KLE, ENM에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{EK}}=\sqrt{\overline{\mathrm{EL}}^2+\overline{\mathrm{KL}}^2}=\sqrt{\overline{\mathrm{KL}}^2+\overline{\mathrm{KL}}^2}=\sqrt2$와

$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{EM}}=\sqrt{\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2}=\sqrt{\overline{\mathrm{MN}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2}=1$을 얻는다.

그림 (다)와 같이 점 A에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 R라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}\perp\overline{\mathrm{ER}}$이다. 직각삼각형 QAP에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{AQ}}^2}=\sqrt3$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2=\frac{\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AQ}}}2=\triangle\mathrm{APQ}=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{AR}}}2$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$이다. 직각삼각형 RAE에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{ER}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AR}}^2+\overline{\mathrm{AE}}^2}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt3}$이므로$\displaystyle \triangle\mathrm{EPQ}=\frac12\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{ER}}=\frac{\sqrt{14}}2$

$\displaystyle c=\sqrt{1+\frac13}=\frac{2\sqrt3}3$에서 두 초점 F, F′의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(\frac{2\sqrt3}3,0\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{2\sqrt3}3,0\right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}F}}=\frac{4\sqrt3}3$이다.

점 P에서의 접선의 방정식 $\displaystyle ax-3by=1$과 점근선의 방정식 $\displaystyle y=\frac1{\sqrt3}x$을 연립하여 점 R의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac1{a-\sqrt3b}$임을 알 수 있다. 접선 $\displaystyle ax-3by=1$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 S라 할 때, 점 S의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac1a$이다.$\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{OQ}}\times(\text{점 R의 }x\text{좌표})=\triangle\mathrm{OQR}=2\triangle\mathrm{OQS}=2\times\frac12\times\overline{\mathrm{OQ}}\times(\text{점 S의 }x\text{좌표})$에서 $\displaystyle a=2\sqrt3b$를 얻는다. 점 P(a,b)가 쌍곡선 위의 점이므로 $\displaystyle a^2-3b^2=1$이므로 $\displaystyle a=2\sqrt3b$를 대입하여 $\displaystyle a=\frac{2\sqrt3}3$, $\displaystyle b=\frac13$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}=\frac13$, $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}P}}=2+\overline{\mathrm{FP}}=2+\frac13=\frac73$이고 삼각형 F′FP는 직각삼각형이다. 점 F에서 직선 F′P에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}}\times\overline{\mathrm{F^{\prime}P}}=2\times\triangle\mathrm{F^{\prime}FP}=\overline{\mathrm{F^{\prime}F}}\times\overline{\mathrm{FP}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}}=\frac{4\sqrt3}{21}$을 얻는다. 따라서 점 F와 직선 F′P사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4\sqrt3}{21}$이다.