중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라고 하면 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca$

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있고 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하며 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다. 한편, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이 아닐 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 불연속이라고 한다.

[문제 2-1] 모든 계수가 자연수인 삼차함수 $\displaystyle f(x)=x^3+mx^2+nx+k$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 갖는다.

(나) $\displaystyle f(1)=11$

$\displaystyle \frac1\alpha+\frac1\beta$ 이 최대가 되는 자연수 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ , $\displaystyle k$ 를 구하시오. [10점]

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[문제 2-1]

주어진 $\displaystyle f(x)$ 를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2mx+n$ 이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건은 $\displaystyle D/4=m^2-3n>0$ 이고, 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2m}3$ , $\displaystyle \alpha\beta=\frac n3$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-\frac{2m}n

를 얻으면

$\displaystyle f(1)=11$ 이므로, $\displaystyle m+n+k=10$ 이며, $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ , $\displaystyle k$ 는 자연수이므로, $\displaystyle 1\le m,n,k\le8$ 이고, $\displaystyle m+n\le9$ 이다. $\displaystyle \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-\frac{2m}n$ 이 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle n$ 은 크고 $\displaystyle m$ 은 작아야 한다.

+4점 ·

\displaystyle m

,

\displaystyle n

을 판별식 등을 이용하여 (1)에서 (8)까지 경우를 나누거나 혹은 조건을 정확히 이용하여 경우를 줄이면

$\displaystyle m^2-3n>0$ , $\displaystyle m+n\le9$ 를 만족하는 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 은(1) $\displaystyle m=1$ 일 때, $\displaystyle n$ 은 없다. (2) $\displaystyle m=2$ 일 때, $\displaystyle n=1$ (3) $\displaystyle m=3$ 일 때, $\displaystyle n=1,2$ (4) $\displaystyle m=4$ 일 때, $\displaystyle n=1,2,\ldots,5$ (5) $\displaystyle m=5$ 일 때, $\displaystyle n=1,\ldots,4$ (6) $\displaystyle m=6$ 일 때, $\displaystyle n=1,2,3$ (7) $\displaystyle m=7$ 일 때, $\displaystyle n=1,2$ (8) $\displaystyle m=8$ 일 때, $\displaystyle n=1$

+2점 · 모든 계산을 정확히 계산하여

\displaystyle m=4

,

\displaystyle n=5

,

\displaystyle k=1

을 얻으면

이 중 $\displaystyle m=4$ , $\displaystyle n=5$ 일 때, $\displaystyle -\frac{2m}n=-\frac85$ 이 최대이다. 이때, $\displaystyle k=1$ 이다.따라서, $\displaystyle f(x)=x^3+4x^2+5x+1$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 2-1번

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