자연계열 1교시 1번

(3) 위 조건을 만족하는 $\displaystyle (i,j)$ 쌍은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}i=1:&\quad j=4,5,6\\i=2:&\quad j=5,6,7\\i=3:&\quad j=6,7\\i=4:&\quad j=7\end{aligned}$

(4) $\displaystyle (i,j)$ 쌍 중에서 1명 이상의 2학년 학생이 1학년 학생과 이웃하는 경우는 1 또는 7이 포함된 경우로 6가지이며, 2학년 학생 2명의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2가지이다. 이때 항상 1명의 2학년 학생이 1학년 학생과 이웃한다. 1학년 학생 옆의 남은 한 자리에 4학년 학생이 들어가야 하므로 4학년 학생 중 1명을 선택하는 경우의 수는 3가지이며, 남은 4학년 학생 2명과 3학년 학생 2명을 남은 자리에 배치하면 된다. 이 경우의 수는 $\displaystyle 6\times2\times3\times4!=864$가지이다.

(5) $\displaystyle (i,j)$ 쌍 중에서 2학년 학생이 1학년 학생과 이웃하지 않는 경우는 남은 3가지이며, 2학년 학생 2명의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2가지이다. 이때 1학년 학생 옆의 두 자리에 모두 4학년 학생이 들어가야 하므로 4학년 학생 중 2명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm P_2=6$가지이며, 남은 4학년 학생 1명과 3학년 학생 2명을 남은 자리에 배치하면 된다. 이 경우의 수는 $\displaystyle 3\times2\times6\times3!=216$가지이다.

(6) 최종적으로, 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{864}{864+216}=\frac{864}{1080}=\frac45$이다.