수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1교시 3-1번

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_3_1

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[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x)dx(단, Δx=b−an,  xk=a+kΔx)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx\quad\left(\text{단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\;x_k=a+k\Delta x\right)

● 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이고 극솟값은 f(a)\displaystyle f(a)이다.

● 미분가능한 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 포함하는 열린구간에서 연속이고, g(a)=α\displaystyle g(a)=\alpha, g(b)=β\displaystyle g(b)=\beta에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 f\displaystyle f가 g([a,b])\displaystyle g([a,b]) 전체에서 연속이어야 한다. g(x)\displaystyle g(x)가 두 끝값 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.∫abf(g(x))g′(x)dx=∫αβf(t)dt\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt

● 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다.∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx

[문제 3-1] 극한값 lim⁡n→∞∑k=1n1n(3+kn)ln⁡(3n+k)−(2+kn)ln⁡(2n+k)−ln⁡n(2+kn)(3+kn)ln⁡(2+kn)ln⁡(3+kn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\frac{\left(3+\frac kn\right)\ln(3n+k)-\left(2+\frac kn\right)\ln(2n+k)-\ln n}{\left(2+\frac kn\right)\left(3+\frac kn\right)\ln\left(2+\frac kn\right)\ln\left(3+\frac kn\right)}을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_3_1

[문제 3-1]

+4점 · 정적분을 쓸 수 있도록 분자를 변형하면

(3+kn)ln⁡(3n+k)−(2+kn)ln⁡(2n+k)−ln⁡n=(3+kn)ln⁡n(3+kn)−(2+kn)ln⁡n(2+kn)−ln⁡n=(3+kn)ln⁡(3+kn)−(2+kn)ln⁡(2+kn)+(3+kn)ln⁡n−(2+kn)ln⁡n−ln⁡n=(3+kn)ln⁡(3+kn)−(2+kn)ln⁡(2+kn)\displaystyle \begin{aligned}&\left(3+\frac kn\right)\ln(3n+k)-\left(2+\frac kn\right)\ln(2n+k)-\ln n\\&=\left(3+\frac kn\right)\ln n\left(3+\frac kn\right)-\left(2+\frac kn\right)\ln n\left(2+\frac kn\right)-\ln n\\&=\left(3+\frac kn\right)\ln\left(3+\frac kn\right)-\left(2+\frac kn\right)\ln\left(2+\frac kn\right)+\left(3+\frac kn\right)\ln n-\left(2+\frac kn\right)\ln n-\ln n\\&=\left(3+\frac kn\right)\ln\left(3+\frac kn\right)-\left(2+\frac kn\right)\ln\left(2+\frac kn\right)\end{aligned}이므로 주어진 극한값은 다음 정적분이다.

+2점 · 맞는 정적분 형태로 쓰면

lim⁡n→∞∑k=1n1n(3+kn)ln⁡(3+kn)−(2+kn)ln⁡(2+kn)(2+kn)(3+kn)ln⁡(2+kn)ln⁡(3+kn)=∫01(3+x)ln⁡(3+x)−(2+x)ln⁡(2+x)(2+x)(3+x)ln⁡(2+x)ln⁡(3+x)dx=∫011(2+x)ln⁡(2+x)dx−∫011(3+x)ln⁡(3+x)dx\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\frac{\left(3+\frac kn\right)\ln\left(3+\frac kn\right)-\left(2+\frac kn\right)\ln\left(2+\frac kn\right)}{\left(2+\frac kn\right)\left(3+\frac kn\right)\ln\left(2+\frac kn\right)\ln\left(3+\frac kn\right)}\\&=\int_0^1\frac{(3+x)\ln(3+x)-(2+x)\ln(2+x)}{(2+x)(3+x)\ln(2+x)\ln(3+x)}dx\\&=\int_0^1\frac1{(2+x)\ln(2+x)}dx-\int_0^1\frac1{(3+x)\ln(3+x)}dx\end{aligned}

+4점 · 2ln⁡(ln⁡3)−ln⁡(ln⁡2)−ln⁡(ln⁡4)\displaystyle 2\ln(\ln3)-\ln(\ln2)-\ln(\ln4) 구하면

y=ln⁡(2+x)\displaystyle y=\ln(2+x), y=ln⁡(3+x)\displaystyle y=\ln(3+x)로 치환적분하여 정리하면 다음과 같다.2ln⁡(ln⁡3)−ln⁡(ln⁡2)−ln⁡(ln⁡4)\displaystyle 2\ln(\ln3)-\ln(\ln2)-\ln(\ln4) 또는 2ln⁡(ln⁡3)−2ln⁡(ln⁡2)−ln⁡2\displaystyle 2\ln(\ln3)-2\ln(\ln2)-\ln2 또는 ln⁡((ln⁡3)22(ln⁡2)2)\displaystyle \ln\left(\frac{(\ln3)^2}{2(\ln2)^2}\right)

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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