자연계열 1교시 3-2번

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_3_2

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx\quad\left(\text{단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\;x_k=a+k\Delta x\right)$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고 극솟값은 $\displaystyle f(a)$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$ 가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

[문제 3-2] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm O(0,0)$ , $\displaystyle \mathrm P(x,0)$ , $\displaystyle \mathrm A(t,\sqrt{3t})$ , $\displaystyle \mathrm B(t,-\sqrt{3t})$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle f(x)=\overline{\mathrm{PO}}+\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}$ $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값을 $\displaystyle m(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_{\frac12}^4\ln(m(t))dt=a\ln2+b\ln5+c\ln7+d$ 이다. 유리수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle t>0$ 이다.) [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_3_2

[문제 3-2]

+3점 ·

\displaystyle f(x)=|x|+2\sqrt{(x-t)^2+3t}

구하면

$\displaystyle f(x)=|x|+2\sqrt{(x-t)^2+3t}$ 이고 최솟값을 구하는 문제이므로 $\displaystyle x\ge0$ 만 고려해도 충분하다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\frac{2(x-t)}{\sqrt{(x-t)^2+3t}}$ 이고 $\displaystyle x\ge t$ 이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$ 이므로 구간 $\displaystyle 0\le x\le t$ 에서 생각해도 충분하다.Comment. 이 도함수 식은 $\displaystyle x>0$ 에서 성립한다. $\displaystyle x=0$ 에서는 $\displaystyle f$ 가 미분가능하지 않으므로 끝점의 함수값을 따로 비교한다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=t-\sqrt t$ 이 나온다.

+3점 ·

\displaystyle 0\le t\le1

에서

\displaystyle m(t)=2\sqrt{t^2+3t}

구하면

$\displaystyle 0\le t\le1$ 이면 $\displaystyle t-\sqrt t\le0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 최솟값을 갖고 $\displaystyle m(t)=2\sqrt{t^2+3t}$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle t\ge1

에서

\displaystyle m(t)=t+3\sqrt t

구하면

$\displaystyle t\ge1$ 이면 $\displaystyle 0\le t-\sqrt t\le t$ 이므로 $\displaystyle x=t-\sqrt t$ 에서 최솟값을 갖고 $\displaystyle m(t)=t+3\sqrt t$ 이다.

구하는 적분은 다음과 같다. $\displaystyle \int_{\frac12}^4\ln(m(t))dt=\int_{\frac12}^1\ln(2\sqrt{t^2+3t})dt+\int_1^4\ln(t+3\sqrt t)dt$

+3점 ·

\displaystyle \frac{13}2\ln2-\frac74\ln7-\frac12

구하면

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac12}^1\ln(2\sqrt{t^2+3t})dt&=\frac12\ln2+\int_{\frac12}^1\frac12\ln(t^2+3t)dt\\&=\frac12\ln2+\frac12\int_{\frac12}^1(\ln t+\ln(t+3))dt=\frac{13}2\ln2-\frac74\ln7-\frac12\end{aligned}$ 이고

+3점 ·

\displaystyle 20\ln2-5\ln5

구하면

$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^4\ln(t+3\sqrt t)dt&=\Biggl[t\ln(t+3\sqrt t)\Biggr]_1^4-\int_1^4t\frac{1+\frac32t^{-\frac12}}{t+3\sqrt t}dt\\&=\Biggl[t\ln(t+3\sqrt t)\Biggr]_1^4-\int_1^4\frac{\sqrt t+\frac32}{\sqrt t+3}dt\\&=20\ln2-5\ln5\end{aligned}$ 이다.

두 값을 더하면 $\displaystyle \frac{53}2\ln2-5\ln5-\frac74\ln7-\frac12$ 이고 $\displaystyle a=\frac{53}2$ , $\displaystyle b=-5$ , $\displaystyle c=-\frac74$ , $\displaystyle d=-\frac12$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.