Pre-Pharm·Med 1번

[문제 1] 두 원의 반지름을 각각 $\displaystyle x,y$ 라고 하자. 두 원의 면적의 합은 $\displaystyle \pi x^2+\pi y^2=\pi(x^2+y^2)$ 이므로, $\displaystyle x^2+y^2=r^2$ 으로 놓자. 임의의 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 $\displaystyle a^2+b^2\geq2ab$ 이고, 등호는 $\displaystyle a=b$ 일 때 성립하므로,$\displaystyle (x+y)^2=x^2+y^2+2xy\leq x^2+y^2+(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)=2r^2$,즉 $\displaystyle x+y\leq\sqrt2r$ 이고, 등호는 $\displaystyle x=y$ 일 때 성립한다. 두 원의 중심들 사이의 거리가 $\displaystyle x+y$이므로, 이 거리가 최대가 될 때 두 원의 반지름은 같다.

[문제 2] 세 원의 반지름을 각각 $\displaystyle x,y,z$ 라고 하자. 세 원의 면적의 합은 $\displaystyle \pi x^2+\pi y^2+\pi z^2=\pi(x^2+y^2+z^2)$ 이므로, $\displaystyle x^2+y^2+z^2=r^2$ 으로 놓자. 임의의 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 $\displaystyle a^2+b^2\geq2ab$ 이고, 등호는 $\displaystyle a=b$ 일 때 성립하므로,$\displaystyle \begin{aligned}(x+y+z)^2&=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\\&\leq x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)\\&=3(x^2+y^2+z^2)=3r^2,\end{aligned}$즉 $\displaystyle x+y+z\leq\sqrt3r$ 이고, 등호는 $\displaystyle x=y=z$ 일 때 성립한다. 세 원의 중심들 사이의 거리의 합이 $\displaystyle (x+y)+(y+z)+(z+x)=2(x+y+z)$ 이므로, 세 원의 중심들 사이의 거리의 합이 최대일 때 세 원의 반지름은 모두 같다.

[문제 3] [문제 2]에서와 같이 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=r^2$ 으로 놓자. 세 원의 중심들을 꼭지점으로 하는 삼각형의 세 변의 길이들이 $\displaystyle x+y,y+z,z+x$ 이므로, 이 삼각형의 면적 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\sqrt{s(s-(x+y))(s-(y+z))(s-(z+x))}=\sqrt{(x+y+z)xyz}$$\displaystyle \left(s=\frac12\{(x+y)+(y+z)+(z+x)\}=x+y+z\right)$이다.$\displaystyle \begin{aligned}S^4&=(x+y+z)^2(xyz)^2=(x+y+z)^2(\sqrt[3]{xyz})^6\leq(x+y+z)^2\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^6\\&=\frac1{3^6}\{(x+y+z)^2\}^4=\frac1{3^6}(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)^4\\&\leq\frac1{3^6}\{x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)\}^4\\&=\frac1{3^6}\{3(x^2+y^2+z^2)\}^4=\frac19r^8,\end{aligned}$즉 $\displaystyle S\leq\frac1{\sqrt3}r^2$ 이고, 등호는 $\displaystyle x=y=z$ 일 때 성립한다.

(참고: $\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=\frac12(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$이므로,$\displaystyle x,y,z\geq0$ 일 때 $\displaystyle \sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}$.)

따라서 세 원의 중심을 꼭지점으로 하는 삼각형의 면적이 최대일 때, 세 원의 반지름은 모두 같다.