자연계열 3번

【문제 1】모집단이 $\displaystyle {0,1,2}$이므로, 모집단의 개체의 값을 확률변수 $\displaystyle X$라 하면 모집단의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}X=x&0&1&2\\\hline P(X=x)&\frac13&\frac13&\frac13\end{array}$이 때 모집단의 모평균 $\displaystyle \mu$와 $\displaystyle \sigma^2$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \mu=E(X)=0\times\frac13+1\times\frac13+2\times\frac13=1$$\displaystyle \sigma^2=V(X)=E(X^2)-\mu^2=0^2\times\frac13+1^2\times\frac13+2^2\times\frac13-1^2=\frac23$.한편, 계산의 편리를 위하여 $\displaystyle S_1^2$은 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle S_1^2=\sum_{i=1}^2(X_i-\overline X)^2=\frac14(X_1-X_2)^2+\frac14(X_2-X_1)^2=\frac12(X_1-X_2)^2$.♣ $\displaystyle S_1^2$을 위와 같이 표현하는 과정은 꼭 필요치 않음.

표본분산 $\displaystyle S_1^2$의 확률분포는 임의추출된 표본 $\displaystyle (X_1,X_2)$의 경우에 따라 다음과 같이 구해진다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}(X_1,X_2)=(x_1,x_2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)\\\hline S_1^2=x&0&\frac12&2&\frac12&0&\frac12&2&\frac12&0\end{array}$$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}S_1^2=x&0&\frac12&2\\\hline P(S_1^2=x)&\frac39&\frac49&\frac29\end{array}$♣ 이 확률분포를 표를 이용하여 풀이하였지만, 그 표현들은 표, 그래프, 식 등으로 다양할 수 있음.

구해진 $\displaystyle S_1^2$의 확률분포를 이용하여 $\displaystyle E(S_1^2)$과 $\displaystyle V(S_1^2)$을 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle E(S_1^2)=0\times\frac39+\frac12\times\frac49+2\times\frac29=\frac69=\frac23$$\displaystyle V(S_1^2)=E\{(S_1^2)^2\}-\{E(S_1^2)\}^2=0^2\times\frac39+\left(\frac12\right)^2\times\frac49+2^2\times\frac29-\left(\frac23\right)^2=\frac{1+8-4}9=\frac59$.

【문제 2】두 표본분산 $\displaystyle S_1^2$과 $\displaystyle S_2^2$의 관계는 $\displaystyle S_2^2=\frac12S_1^2$이다. [문제 1]에서 $\displaystyle E(S_1^2)=\frac23$이므로 $\displaystyle S_1^2$과 $\displaystyle S_2^2$의 관계와 기댓값의 성질에 의해 $\displaystyle E(S_2^2)$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle E(S_2^2)=E\left(\frac12S_1^2\right)=\frac12E(S_1^2)=\frac12\times\frac23=\frac13$.$\displaystyle S_1^2$의 기댓값은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$가 되나, $\displaystyle S_2^2$의 기댓값은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$보다 작은 $\displaystyle \frac13$이 된다. 그러므로 기준 (1)에 의하면 $\displaystyle S_1^2$이 $\displaystyle S_2^2$보다 $\displaystyle \sigma^2$의 추정이 우수하다.

두 표본분산들의 분산을 비교해보자. [문제 1]에서 $\displaystyle V(S_1^2)=\frac59$이므로 $\displaystyle S_1^2$과 $\displaystyle S_2^2$의 관계와 분산의 성질에 의해 $\displaystyle V(S_2^2)$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle V(S_2^2)=V\left(\frac12S_1^2\right)=\frac14V(S_1^2)=\frac14\times\frac59=\frac5{36}$.두 표본분산의 분산들은 $\displaystyle V(S_1^2)>V(S_2^2)$이므로, 기준 (2)에 의하면 $\displaystyle S_2^2$이 $\displaystyle S_1^2$보다 $\displaystyle \sigma^2$의 추정이 우수하다.

♣ $\displaystyle S_1^2$과 $\displaystyle S_2^2$의 관계와 평균과 분산의 성질을 사용하지 않고 $\displaystyle S_2^2$의 확률분포를 직접 구하여 $\displaystyle E(S_2^2)$과 $\displaystyle V(S_2^2)$을 계산하여 설명하여도 무방함.

【문제 3】이 모집단의 모평균은 [문제 1]의 풀이에 의하면 1이다. 그러므로, 표본분산 $\displaystyle S_3^2$은 다음과 같이 표현 된다.$\displaystyle S_3^2=k_1(X_1-\mu)^2+k_2(X_2-\mu)^2=k_1(X_1-1)^2+k_2(X_2-1)^2$.표본분산 $\displaystyle S_3^2$의 확률분포는 임의추출된 표본 $\displaystyle (X_1,X_2)$의 경우에 따라 다음과 같이 구해진다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}(X_1,X_2)=(x_1,x_2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)\\\hline S_3^2=x&k_1+k_2&k_1&k_1+k_2&k_2&0&k_2&k_1+k_2&k_1&k_1+k_2\end{array}$$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}S_3^2=x&0&k_1&k_2&k_1+k_2\\\hline P(S_3^2=x)&\frac19&\frac29&\frac29&\frac49\end{array}$구해진 $\displaystyle S_3^2$의 확률분포를 이용하여 $\displaystyle E(S_3^2)$를 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle E(S_3^2)=0\times\frac19+k_1\times\frac29+k_2\times\frac29+(k_1+k_2)\times\frac49=\frac69(k_1+k_2)=\frac23(k_1+k_2)$.한편 모분산은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$이므로 제시문의 조건 (1)을 만족하기 위해서 $\displaystyle E(S_3^2)=\sigma^2$이 되는 경우는$\displaystyle k_1+k_2=1$ (*)이다. 또한 (*)와 분산의 정의에 의해 $\displaystyle V(S_3^2)$는$\displaystyle \begin{aligned}V(S_3^2)&=E\{(S_3^2)^2\}-\{E(S_3^2)\}^2\\&=0^2\times\frac19+k_1^2\times\frac29+k_2^2\times\frac29+(k_1+k_2)^2\times\frac49-\left(\frac23\right)^2\\&=\frac29k_1^2+\frac29(1-k_1)^2+\frac49-\frac49\\&=\frac19(4k_1^2-4k_1+2)=\frac19((2k_1-1)^2+1)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle V(S_3^2)$가 최소가 되려면 $\displaystyle k_1=\frac12$가 되어야 한다. 결과 (*)에 의해 역시 $\displaystyle k_2=\frac12$이 된다.

♣ 분산이 최소값이 되도록 하는 $\displaystyle k_1$을 구하는 방법이 완전제곱, 미분 등 다양하니 어떤 방법을 사용하여도 무방함.