덕성여대 2014학년도 수시 자연계열 3번 해설

모집단의 어떤 특성값 $\displaystyle \alpha$ 를 모를 때, 모집단으로부터 복원추출로 크기 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출하여 그 표본으로부터 만들어진 $\displaystyle A$ 로 모집단의 특성값 $\displaystyle \alpha$ 를 추정한다. 예를 들면, 모집단의 한 특성값인 모평균 $\displaystyle \mu$ 를 추정하고자 모집단으로부터 복원추출로 크기 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출하였을 때, 이 표본으로부터 만들어진 표본평균 $\displaystyle \overline X$ 혹은 표본중앙값 $\displaystyle M$ 등으로 특성값 $\displaystyle \mu$ 를 추정한다.

특성값 $\displaystyle \alpha$ 를 추정하는 $\displaystyle A$ 의 형태는 다양하다. 특성값 $\displaystyle \alpha$ 에 대한 $\displaystyle A$ 의 추정의 우수성은, 모집단으로부터 복원추출에 의한 임의추출방법으로 추출 가능한 크기 $\displaystyle n$ 인 모든 표본들을 생각하였을 때, 각 표본들로부터 만들어진 $\displaystyle A$ 들이 $\displaystyle \alpha$ 가 될 가능성이 높은 것을 기준으로 한다. 그런 의미에서, 다음의 두 조건이 추정의 우수성의 기준들로 사용되고 있다. $\displaystyle E(A)=\alpha$ (1)작은 $\displaystyle V(A)$ (2)여기서, $\displaystyle E(A)$ 는 $\displaystyle A$ 의 기댓값이고, $\displaystyle V(A)$ 는 $\displaystyle A$ 의 분산이다.

모평균과 표본평균의 예를 들어보자. 모집단의 특성값인 모평균 $\displaystyle \mu$ 를 추정하고자 모집단으로부터 복원추출로 크기 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균 $\displaystyle \overline X$ 는 $\displaystyle E(\overline X)=\mu$ 와 $\displaystyle V(\overline X)=\sigma^2/n$ 을 만족한다. 여기서, $\displaystyle \sigma^2$ 은 모집단의 분산인 모분산이다. 이때 $\displaystyle V(\overline X)$ 는 위 (1)의 조건을 만족하는 $\displaystyle \mu$ 에 대한 다른 추정들의 분산들과 비교하였을 때 일반적으로 작다는 것이 익히 알려져 있다. 이러한 이유로, 표본평균 $\displaystyle \overline X$ 는 $\displaystyle \mu$ 추정이 우수하다고 평가되고 널리 사용되고 있다.

다음의 모집단 $\displaystyle \{0,1,2\}$ 을 생각하자. 이 모집단의 특성값인 모분산 $\displaystyle \sigma^2$ 을 추정하기 위하여, 이 모집단으로부터 복원추출로 크기 2인 표본 $\displaystyle X_1,X_2$ 을 임의추출하였다. 다음의 물음에 답하시오.

문항1) 모분산 $\displaystyle \sigma^2$ 의 추정을 위하여 표본으로부터 만들어진 다음의 형태 $\displaystyle S_1^2=\frac1{2-1}\sum_{i=1}^2(X_i-\overline X)^2$ 를 사용하고자 한다. $\displaystyle E(S_1^2)$ 과 $\displaystyle V(S_1^2)$ 을 계산하시오. (35점)

문항2) 모분산 $\displaystyle \sigma^2$ 의 추정을 위하여 표본으로부터 만들어진 다음의 두 형태 $\displaystyle S_1^2=\frac1{2-1}\sum_{i=1}^2(X_i-\overline X)^2$ 과 $\displaystyle S_2^2=\frac12\sum_{i=1}^2(X_i-\overline X)^2$ 을 생각하자. $\displaystyle \sigma^2$ 에 대한 $\displaystyle S_1^2$ 과 $\displaystyle S_2^2$ 의 추정의 우수성에 대해 제시문의 조건 (1)과 (2) 각각을 기준으로 비교 설명하시오. (35점)

문항3) 이 모집단의 모평균 $\displaystyle \mu$ 을 안다고 할 때, 모분산 $\displaystyle \sigma^2$ 의 추정을 위하여 표본으로부터 $\displaystyle \mu$ 를 이용하여 만들어진 다음의 형태 $\displaystyle S_3^2=\sum_{i=1}^2 k_i(X_i-\mu)^2$ 을 사용하고자 한다. $\displaystyle S_3^2$ 의 $\displaystyle \sigma^2$ 추정이 우수하도록, 위 제시문의 조건 (1)을 만족하고 $\displaystyle S_3^2$ 의 분산이 최소가 되게 하는 실수 $\displaystyle k_1$ 과 $\displaystyle k_2$ 를 구하시오. (35점)

덕성여대 2014학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/duksung/2014su/jayeon_3

【문제 1】모집단이 $\displaystyle {0,1,2}$ 이므로, 모집단의 개체의 값을 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하면 모집단의 확률분포는 다음과 같다. $\displaystyle \begin{array}{c|ccc}X=x&0&1&2\\\hline P(X=x)&\frac13&\frac13&\frac13\end{array}$ 이 때 모집단의 모평균 $\displaystyle \mu$ 와 $\displaystyle \sigma^2$ 은 다음과 같이 계산된다. $\displaystyle \mu=E(X)=0\times\frac13+1\times\frac13+2\times\frac13=1$ $\displaystyle \sigma^2=V(X)=E(X^2)-\mu^2=0^2\times\frac13+1^2\times\frac13+2^2\times\frac13-1^2=\frac23$ .한편, 계산의 편리를 위하여 $\displaystyle S_1^2$ 은 다음과 같이 표현할 수 있다. $\displaystyle S_1^2=\sum_{i=1}^2(X_i-\overline X)^2=\frac14(X_1-X_2)^2+\frac14(X_2-X_1)^2=\frac12(X_1-X_2)^2$ .♣ $\displaystyle S_1^2$ 을 위와 같이 표현하는 과정은 꼭 필요치 않음.

표본분산 $\displaystyle S_1^2$ 의 확률분포는 임의추출된 표본 $\displaystyle (X_1,X_2)$ 의 경우에 따라 다음과 같이 구해진다. $\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}(X_1,X_2)=(x_1,x_2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)\\\hline S_1^2=x&0&\frac12&2&\frac12&0&\frac12&2&\frac12&0\end{array}$ $\displaystyle \begin{array}{c|ccc}S_1^2=x&0&\frac12&2\\\hline P(S_1^2=x)&\frac39&\frac49&\frac29\end{array}$ ♣ 이 확률분포를 표를 이용하여 풀이하였지만, 그 표현들은 표, 그래프, 식 등으로 다양할 수 있음.

구해진 $\displaystyle S_1^2$ 의 확률분포를 이용하여 $\displaystyle E(S_1^2)$ 과 $\displaystyle V(S_1^2)$ 을 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle E(S_1^2)=0\times\frac39+\frac12\times\frac49+2\times\frac29=\frac69=\frac23$ $\displaystyle V(S_1^2)=E\{(S_1^2)^2\}-\{E(S_1^2)\}^2=0^2\times\frac39+\left(\frac12\right)^2\times\frac49+2^2\times\frac29-\left(\frac23\right)^2=\frac{1+8-4}9=\frac59$ .

【문제 2】두 표본분산 $\displaystyle S_1^2$ 과 $\displaystyle S_2^2$ 의 관계는 $\displaystyle S_2^2=\frac12S_1^2$ 이다. [문제 1]에서 $\displaystyle E(S_1^2)=\frac23$ 이므로 $\displaystyle S_1^2$ 과 $\displaystyle S_2^2$ 의 관계와 기댓값의 성질에 의해 $\displaystyle E(S_2^2)$ 은 다음과 같이 계산된다. $\displaystyle E(S_2^2)=E\left(\frac12S_1^2\right)=\frac12E(S_1^2)=\frac12\times\frac23=\frac13$ . $\displaystyle S_1^2$ 의 기댓값은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$ 가 되나, $\displaystyle S_2^2$ 의 기댓값은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$ 보다 작은 $\displaystyle \frac13$ 이 된다. 그러므로 기준 (1)에 의하면 $\displaystyle S_1^2$ 이 $\displaystyle S_2^2$ 보다 $\displaystyle \sigma^2$ 의 추정이 우수하다.

두 표본분산들의 분산을 비교해보자. [문제 1]에서 $\displaystyle V(S_1^2)=\frac59$ 이므로 $\displaystyle S_1^2$ 과 $\displaystyle S_2^2$ 의 관계와 분산의 성질에 의해 $\displaystyle V(S_2^2)$ 은 다음과 같이 계산된다. $\displaystyle V(S_2^2)=V\left(\frac12S_1^2\right)=\frac14V(S_1^2)=\frac14\times\frac59=\frac5{36}$ .두 표본분산의 분산들은 $\displaystyle V(S_1^2)>V(S_2^2)$ 이므로, 기준 (2)에 의하면 $\displaystyle S_2^2$ 이 $\displaystyle S_1^2$ 보다 $\displaystyle \sigma^2$ 의 추정이 우수하다.

♣ $\displaystyle S_1^2$ 과 $\displaystyle S_2^2$ 의 관계와 평균과 분산의 성질을 사용하지 않고 $\displaystyle S_2^2$ 의 확률분포를 직접 구하여 $\displaystyle E(S_2^2)$ 과 $\displaystyle V(S_2^2)$ 을 계산하여 설명하여도 무방함.

【문제 3】이 모집단의 모평균은 [문제 1]의 풀이에 의하면 1이다. 그러므로, 표본분산 $\displaystyle S_3^2$ 은 다음과 같이 표현 된다. $\displaystyle S_3^2=k_1(X_1-\mu)^2+k_2(X_2-\mu)^2=k_1(X_1-1)^2+k_2(X_2-1)^2$ .표본분산 $\displaystyle S_3^2$ 의 확률분포는 임의추출된 표본 $\displaystyle (X_1,X_2)$ 의 경우에 따라 다음과 같이 구해진다. $\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}(X_1,X_2)=(x_1,x_2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)\\\hline S_3^2=x&k_1+k_2&k_1&k_1+k_2&k_2&0&k_2&k_1+k_2&k_1&k_1+k_2\end{array}$ $\displaystyle \begin{array}{c|cccc}S_3^2=x&0&k_1&k_2&k_1+k_2\\\hline P(S_3^2=x)&\frac19&\frac29&\frac29&\frac49\end{array}$ 구해진 $\displaystyle S_3^2$ 의 확률분포를 이용하여 $\displaystyle E(S_3^2)$ 를 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle E(S_3^2)=0\times\frac19+k_1\times\frac29+k_2\times\frac29+(k_1+k_2)\times\frac49=\frac69(k_1+k_2)=\frac23(k_1+k_2)$ .한편 모분산은 $\displaystyle \sigma^2=\frac23$ 이므로 제시문의 조건 (1)을 만족하기 위해서 $\displaystyle E(S_3^2)=\sigma^2$ 이 되는 경우는 $\displaystyle k_1+k_2=1$ (*)이다. 또한 (*)와 분산의 정의에 의해 $\displaystyle V(S_3^2)$ 는 $\displaystyle \begin{aligned}V(S_3^2)&=E\{(S_3^2)^2\}-\{E(S_3^2)\}^2\\&=0^2\times\frac19+k_1^2\times\frac29+k_2^2\times\frac29+(k_1+k_2)^2\times\frac49-\left(\frac23\right)^2\\&=\frac29k_1^2+\frac29(1-k_1)^2+\frac49-\frac49\\&=\frac19(4k_1^2-4k_1+2)=\frac19((2k_1-1)^2+1)\end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle V(S_3^2)$ 가 최소가 되려면 $\displaystyle k_1=\frac12$ 가 되어야 한다. 결과 (*)에 의해 역시 $\displaystyle k_2=\frac12$ 이 된다.

♣ 분산이 최소값이 되도록 하는 $\displaystyle k_1$ 을 구하는 방법이 완전제곱, 미분 등 다양하니 어떤 방법을 사용하여도 무방함.

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