자연계열 2번

반지름이 $\displaystyle r\,(r>0)$인 원에 내접하는 정$\displaystyle n$각형들에 대하여 다음 문제들에 답하시오.

(1) 정삼각형($\displaystyle n=3$) 세 변 위의 각 점을 중심으로 하는 반지름 $\displaystyle r$인 원을 고려하자. 이 원들을 모두 모았을 때의 자취가 차지하는 면적을 구하시오(그림 참조).

(2) 정$\displaystyle n$각형에서 변 위의 각 점을 중심으로 하는 반지름 $\displaystyle r$인 원을 고려하자. 이 원들을 모두 모았을 때의 자취가 차지하는 면적을 $\displaystyle A_n$이라고 할 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n$을 구하는 과정을 기술하시오. (단, 정$\displaystyle n$각형의 내각의 합은 $\displaystyle (n-2)\pi$ 이다.)