수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 1번

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이화여대 2018학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2018mo/jayeon2_1

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문제

[문제 1] 자연수 m\displaystyle m을 2018 이하의 짝수 중에서 선택하고, 자연수 n\displaystyle n은 2018 이하의 3의 배수 중에서 선택할 때, 각 m,n\displaystyle m,n에 대하여 삼차함수가 아래와 같이 주어져 있다.f(x)=2x3−3(m+n)x2+6(m2+n2−mn)x+1\displaystyle f(x)=2x^3-3(m+n)x^2+6(m^2+n^2-mn)x+1이며, f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0이 실근을 갖도록 하는 순서쌍 (m,n)\displaystyle (m,n)의 개수를 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

이화여대 2018학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2018mo/jayeon2_1

이차방정식 f′(x)=6(x2−(m+n)x+m2+n2−mn)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=6(x^2-(m+n)x+m^2+n^2-mn)=0이 근을 갖도록 판별식을 적용하면 아래와 같다.0≤D=(m+n)2−4(m2+n2−mn)=−3m2−3n2+6mn=−3(m−n)2\displaystyle \begin{aligned}0\le D&=(m+n)^2-4(m^2+n^2-mn)\\&=-3m^2-3n^2+6mn\\&=-3(m-n)^2\end{aligned}따라서, m=n\displaystyle m=n일 때, 해가 존재한다. m=n\displaystyle m=n일 때 m\displaystyle m과 n\displaystyle n은 6의 배수이므로, 답은 [20186]=336\displaystyle \left[\frac{2018}6\right]=336 이다.

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