자연계열 II 2번

(1) $\displaystyle x$가 양의 실수이므로 구간 $\displaystyle [x,x+1]$에서 함수 $\displaystyle y=\frac1t$는 단조감소함수이므로 최댓값은 $\displaystyle \frac1x$이고 최솟값은 $\displaystyle \frac1{x+1}$이다. 따라서 정적분의 정의에 의해 위의 부등식이 성립한다.

(2) 정적분을 계산하면 $\displaystyle \int_x^{x+1}\frac1t\,dt=\Biggl[\ln t\Biggr]_x^{x+1}=\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(\frac{x+1}x\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)$

(3) 문제 (2)의 부등식 $\displaystyle \frac1{x+1}<\ln\left(1+\frac1x\right)<\frac1x$의 각 항에 $\displaystyle x$를 곱하면 $\displaystyle x$가 양수이므로$\displaystyle \frac x{x+1}<x\ln\left(1+\frac1x\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)^x<1$을 얻고, 이 부등식에 지수 함수 $\displaystyle e^t$를 취하면 $\displaystyle y=e^t$는 증가함수이므로$\displaystyle e^{\frac x{x+1}}<e^{\ln\left(1+\frac1x\right)^x}<e$이 성립한다. 그리고 지수 함수와 로그 함수는 서로 역함수이기 때문에 $\displaystyle e^{\ln\left(1+\frac1x\right)^x}=\left(1+\frac1x\right)^x$이므로 주어진 부등식이 참임을 알 수 있다.

(4) $\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^x<e$는 이미 주어졌으므로 $\displaystyle e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}$이 임의의 양수 $\displaystyle x$에 대하여 참임을 보이면 된다. 먼저 문제 (3)의 왼쪽 부등식에 $\displaystyle e^{\frac1{x+1}}$을 곱하면 $\displaystyle e^{\frac x{x+1}}e^{\frac1{x+1}}<\left(1+\frac1x\right)^xe^{\frac1{x+1}}$이 되고 지수법칙에 의해 $\displaystyle e^{\frac x{x+1}}e^{\frac1{x+1}}=e^{\frac x{x+1}+\frac1{x+1}}=e^{\frac{x+1}{x+1}}=e$가 되어 $\displaystyle e<\left(1+\frac1x\right)^xe^{\frac1{x+1}}$을 얻는다. 그리고 문제 (2)의 왼쪽 부등식에 지수함수를 취하면 $\displaystyle e^{\frac1{x+1}}<e^{\ln\left(1+\frac1x\right)}=\left(1+\frac1x\right)$이 성립한다. 그러므로 $\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^xe^{\frac1{x+1}}<\left(1+\frac1x\right)^x\left(1+\frac1x\right)=\left(1+\frac1x\right)^{x+1}$이 성립하여 임의의 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}$이 참이다. 따라서 $\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^x<e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}$이 성립한다.

(5) (4)의 부등식에 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}$를 취하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\le\lim_{x\to\infty}e=e\le\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x+1}$이 되고, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x+1}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\left(1+\frac1x\right)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\le e\le\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$이 성립한다. 따라서 함수의 극한의 대소관계에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$이 참이다.Caution. 극한의 존재를 확인하기 전에 수렴을 가정하거나 극한의 연산 법칙을 적용해선 안 된다: 이 문제의 대학 예시답안은 극한의 존재를 확인하기 전에 극한의 곱셈 법칙을 적용했다. 주어진 부등식을 $\displaystyle \frac{ex}{x+1}<\left(1+\frac1x\right)^x<e$로 정리하면, $\displaystyle x\to\infty$일 때 양쪽이 모두 $\displaystyle e$로 수렴한다. 따라서 조임정리로 극한의 존재와 그 값이 $\displaystyle e$임을 함께 확인할 수 있다.