자연계열 1번

<가> 희섭이는 친구들과 콘 모양의 아이스크림을 나누어 먹기 위해 칼로 아이스크림을 여러 가지 다른 각도로 잘라보았다. 그랬더니 그 단면의 테두리 모양이 원, 타원, 포물선 및 쌍곡선의 일부 모양이 됨을 관찰하였다. 이것들을 모두 변수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있는데, 이 때 그 이차방정식의 꼴로 나타낼 수 있는 곡선을 이차곡선이라 한다.

<나> 최근 컴퓨터와 인터넷의 급속한 발달로 인해 안전한 전자상거래의 필요성이 대두되고 있다. 그래서 더 안전한 암호시스템을 위하여 삼차곡선이 이용되고 있다. 여기서 삼차곡선이란 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대한 삼차방정식의 꼴로 나타낼 수 있는 곡선을 말한다. 삼차곡선은 대수적, 기하적인 측면에서 좋은 구조를 가지고 있으며, 삼차곡선의 성질들을 활용한 차세대 암호 시스템 구현이 수학자, 암호학자 등에 의하여 이루어지고 있다.

<다> 희섭이는 학교에서 피타고라스의 정리를 공부하고 나서 선생님께 다음과 같은 질문을 하였다. “직각삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$가 모두 자연수인 직각삼각형은 무수히 많이 있을까요?” 선생님은 이 문제가 기원전 피타고라스학파에 의해 이미 연구가 되었으며, 이러한 자연수 세쌍 $\displaystyle (a,b,c)$를 피타고라스의 세쌍이라고 부른다는 것을 알려주었다. 그리고 피타고라스의 세쌍을 찾는 문제는 단위원 위의 유리수 좌표를 갖는 점을 구하는 문제와 같다는 것을 설명해 주었다. 이처럼 곡선 위의 점 $\displaystyle P$의 좌표 $\displaystyle (x,y)$에서 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$가 모두 유리수 일 때, 점 $\displaystyle P$를 이 곡선의 유리수점이라고 부른다.

<라> $\displaystyle C$를 이차곡선 또는 삼차곡선이라고 하자. 희섭이는 단위원의 경우처럼 곡선 $\displaystyle C$의 유리수점도 무수히 많을 것이라고 추측하고, 이들을 구하기 위한 다음과 같은 알고리즘을 제안하였다.

(단계 1) 곡선 $\displaystyle C$의 한 유리수점 $\displaystyle P$를 고른다.

(단계 2) $\displaystyle P$를 지나며 기울기가 유리수 $\displaystyle t$인 직선 $\displaystyle L_{t}$를 생각한다.

(단계 3) 직선 $\displaystyle L_{t}$와 곡선 $\displaystyle C$의 교점들 중 $\displaystyle P$와 다른 유리수점 하나를 $\displaystyle Q_{t}$라 한다.

(단계 4) 기울기 $\displaystyle t$를 달리해가며 교점 $\displaystyle Q_t$를 구해나가면 무수히 많은 유리수점을 얻을 수 있다.

[[그림 1]은 곡선 $\displaystyle C$가 단위원이고 $\displaystyle P$가 $\displaystyle (-1,0)$인 경우이다.]