의예과 1번

문항1. (20점)답안: $\displaystyle n$에 관해 수학적 귀납법을 이용한다.$\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle \det(A^1)=\det(A)=(\det(A))^1$으로 등식이 성립한다.$\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle n=k$이면 등식이 성립한다고 가정하고, $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립함을 보이자.Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: 원문의 “$\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle n=k$이면 등식이 성립한다고 가정”이라는 표현은 귀납 가정을 $\displaystyle k\ge2$로 제한하는 것처럼 읽힐 수 있다. “$\displaystyle k\ge1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle n=k$일 때 등식이 성립한다고 가정한다”고 쓰면 시작 단계의 연결이 분명해진다. 뒤의 행렬 계산은 $\displaystyle k=1$에서도 그대로 성립한다.$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad A^k=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$라 하면, $\displaystyle \det(A)=ad-bc$이고, 가정에 의해$\displaystyle (\det(A))^k=\det(A^k)=ps-qr$이다.따라서, $\displaystyle \det(A^{k+1})=\det(A\cdot A^k)=\det\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\right)=\det\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}$$\displaystyle =(ap+br)(cq+ds)-(aq+bs)(cp+dr)=(ad-bc)(ps-qr)$$\displaystyle =\det(A)(\det(A))^k=(\det(A))^{k+1}$이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때도 등식이 성립한다.

문항2. (40점)답안: 행렬을 이용한 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 표현으로부터$\displaystyle \begin{pmatrix}a_{n+2}&a_{n+1}\\a_{n+1}&a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}a_n&a_{n-1}\\a_{n-1}&a_{n-2}\end{pmatrix}$$\displaystyle =\cdots=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}a_3&a_2\\a_2&a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^{n+1}$이 성립한다.여기서 (문제1)의 결과에 의해 $\displaystyle \det\left(\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^{n+1}\right)=\left(\det\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\right)^{n+1}=(-1)^{n+1}$이 성립하므로,$\displaystyle a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=\det\begin{pmatrix}a_{n+2}&a_{n+1}\\a_{n+1}&a_n\end{pmatrix}=\det\left(\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^{n+1}\right)=(-1)^{n+1}$을 얻는다.

문항3. (40점)답안: (문제2)의 등식에 $\displaystyle a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$을 대입해서 정리하면,$\displaystyle a_{n+1}^2-2a_na_{n+1}-a_n^2+(-1)^{n+1}=0$이 되고, 이 등식을 $\displaystyle a_{n+1}$에 대해 정리하면,$\displaystyle a_{n+1}=a_n\pm\sqrt{2a_n^2+(-1)^n}$이다. 이 때 $\displaystyle a_{n+1}>0$이므로$\displaystyle a_{n+1}=a_n+\sqrt{2a_n^2+(-1)^n}$이고, 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n+\sqrt{2a_n^2+(-1)^n}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{2+\frac{(-1)^n}{a_n^2}}\right)=1+\sqrt2$이다.