의예과 2번

문항1. (10점)구간 $\displaystyle [a,b]$에 속하는 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 다음의 두 부등식$\displaystyle 0\le f(a)\le f(x)\le f(b),\quad0\le g(b)\le g(x)\le g(a)$이 성립하므로 부등식의 성질에 의해서 $\displaystyle f(a)g(b)\le f(x)g(x)\le f(b)g(a)$가 성립한다.

문항2. (20점)$\displaystyle f(x)=x+1, g(x)=2^x, h(x)=1/g(x)$라 할 때, 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이고 $\displaystyle h(x)$는 감소함수이다. 따라서 $\displaystyle \frac{x+1}{2^x}=f(x)h(x)\le f(1)h(0)=2$이다.

한편, 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 항상 $\displaystyle 0<g(x)\le f(x)$이므로 (∵양 끝점에서 두 함수의 함숫값이 같은데 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 직선이고 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 아래로 볼록) $\displaystyle 1\le\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{2^x}$가 성립한다. 그러므로 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 부등식 $\displaystyle 1\le\frac{x+1}{2^x}\le2$이 항상 성립한다.

구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi4\right]$에서 $\displaystyle h(x)\le\frac\pi4\le1$이므로 이 구간에서 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 해를 갖지 않는다.

구간 $\displaystyle \left[\frac\pi4,\frac\pi2\right]$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가하고 $\displaystyle g(x)$는 감소하므로 (a)로부터$\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\le f(\pi/2)g(\pi/4)=\frac\pi{2\sqrt2}<2$임을 알 수 있다. 따라서 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 구간 $\displaystyle [\pi/4,\pi/2]$에서 해를 갖지 않는다.

구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\frac{3\pi}2\right]$에서 $\displaystyle h(x)\le0$이므로 이 구간에서 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 해를 갖지 않는다.

$\displaystyle h(3\pi/2)=0$이고 $\displaystyle h(7\pi/4)=\frac{7\pi}{4\sqrt2}>2$이므로 중간값정리에 의해서 $\displaystyle h(c)=2$를 만족하는 $\displaystyle c$가 구간 $\displaystyle \left[\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}4\right]$에 존재한다. 즉, 이 구간에서 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 적어도 하나의 해를 갖는다. (이 구간에서 $\displaystyle h(x)$는 증가하므로 실제로는 오직 하나의 해만 존재함.)

구간 $\displaystyle \left[\frac{7\pi}4,2\pi\right]$에서 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 모두 증가하므로 $\displaystyle h(x)$도 증가한다. 따라서 이 구간에서 $\displaystyle h(x)\ge h(7\pi/4)>2$이고 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 해를 갖지 않는다.

구간 $\displaystyle \left[2\pi,\frac{9\pi}4\right]$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가하고 $\displaystyle g(x)$는 감소하므로 (a)로부터$\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\ge f(2\pi)g(9\pi/4)=\frac{2\pi}{\sqrt2}>2$이므로 이 구간에서 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 해를 갖지 않는다.

$\displaystyle h(9\pi/4)>2$이고 $\displaystyle h(5\pi/2)=0$이므로 중간값정리로부터 방정식 $\displaystyle h(x)=2$는 적어도 하나의 해를 구간 $\displaystyle \left[\frac{9\pi}4,\frac{5\pi}2\right]$에서 갖는다.