자연계열 2번

문항1. (50점)답안: (만약 구간 $\displaystyle (0,1)$의 어떤 실수 $\displaystyle a$에 대해 $\displaystyle f(a)>0$이 성립했다고 하자. 그러면 평균값의 정리를 적용하여 $\displaystyle f'(c_1)=\frac{f(a)}a$인 $\displaystyle c_1$이 구간 $\displaystyle (0,a)$에 존재하고, $\displaystyle f'(c_2)=-\frac{f(a)}{1-a}$인 $\displaystyle c_2$가 구간 $\displaystyle (a,1)$에 존재한다.)함수 $\displaystyle f'(x)$의 미분 $\displaystyle f''(x)$가 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 항상 정의되므로 $\displaystyle f'(x)$는 같은 구간에서 연속이다. 따라서 구간 $\displaystyle [c_1,c_2]$에서 함수 $\displaystyle f'(x)$에 평균값의 정리를 적용할 수 있다. 그러므로$\displaystyle f''(d)=\frac{f(c_2)-f(c_1)}{c_2-c_1}$Correction. 이 부분의 $\displaystyle f(c_1)$, $\displaystyle f(c_2)$는 각각 $\displaystyle f^{\prime}(c_1)$, $\displaystyle f^{\prime}(c_2)$의 오기이다. 평균값의 정리를 적용한 함수는 $\displaystyle f^{\prime}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.인 $\displaystyle d$가 구간 $\displaystyle (c_1,c_2)$에 존재한다.

그런데 $\displaystyle f(c_1)>0, f(c_2)<0$이므로 $\displaystyle f''(d)<0$이다.이것은 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 항상 $\displaystyle f''(x)\ge0$이라는 가정에 모순이다.

따라서 $\displaystyle f(x)\le0$이 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 성립한다.

(2)(50점)답안: 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle g(x)=f(x)^2-(3x+1)$이라 두자.

그러면 $\displaystyle g(0)=f(0)^2-1=0, g(1)=f(1)^2-(3+1)=0$이 성립한다.

또한 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle g''(x)=2(f'(x)^2+f(x)f''(x))\ge0$이 성립한다.

따라서 문제 (1)에 의해 $\displaystyle g(x)\le0$이 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 성립한다.

그러므로 $\displaystyle f(x)\le\sqrt{3x+1}$이 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 성립한다.