자연계열 2번

<가> 두 벡터 $\displaystyle \vec{v}$와 $\displaystyle \vec{w}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 할 때, $\displaystyle \vec{v}$와 $\displaystyle \vec{w}$의 내적 $\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{w}$는 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{w}=|\vec{v}||\vec{w}|\cos\theta$

<나> 삼각형의 코사인법칙을 이용하면 두 평면벡터 $\displaystyle \vec{a}=(a_{1},a_{2})$, $\displaystyle \vec{b}=(b_{1},b_{2})$와 두 공간벡터 $\displaystyle \vec{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})$, $\displaystyle \vec{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})$에 대하여 각각 다음을 보일 수 있다.$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ ⋯⋯ ①$\displaystyle \vec{c}\cdot\vec{d}=c_{1}d_{1}+c_{2}d_{2}+c_{3}d_{3}$

<다> 위 <나>의 결과로부터 평면벡터와 공간벡터에 대해 다음이 성립한다는 것을 알 수 있다.(1) $\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$(2) $\displaystyle (k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ (단, $\displaystyle k$는 실수)(3) $\displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$

<라> $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$에서 다음과 같은 코사인법칙이 성립한다.$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}-2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta$ (단, $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{BAC}$)