자연계열 1번

1. $\displaystyle a_n=2\cdot(\frac34)^{n-1}+2$이고 $\displaystyle b_n=2-\frac1{2^{n-2}}$이므로 $\displaystyle b_n<b_{n+1}<\cdots<2<\cdots<a_{n+1}<a_n$이 성립하고 $\displaystyle \alpha=\beta=2$이다.

2. $\displaystyle d>2$인 경우: 개구간 $\displaystyle (-\infty,d)$에서 $\displaystyle P(f(x))$는 다항함수이고 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하다. $\displaystyle a_n,b_n$은 모두 $\displaystyle d$보다 작은 2로 수렴하므로, 등식 ①의 우변과 좌변은 같고 그 극한값은 $\displaystyle P(f(x))$의 $\displaystyle x=2$에서 미분계수이다.− $\displaystyle d<2$인 경우: 개구간 $\displaystyle (d,\infty)$에서 $\displaystyle P(f(x))$는 다항함수이고 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하다. $\displaystyle a_n,b_n$은 모두 $\displaystyle d$보다 큰 2로 수렴하므로, 등식 ①의 우변과 좌변은 같고 그 극한값은 $\displaystyle P(f(x))$의 $\displaystyle x=2$에서 미분계수이다.− $\displaystyle d=2$인 경우: $\displaystyle P(x)=x$라 하면 등식 ①의 좌변은 −1, 우변은 1로 서로 다르므로, 등식 ①은 성립하지 않는다. 따라서 구하는 집합은 $\displaystyle \{d\in R\mid d\ne2\}$이다.Correction. 등식 ①의 좌변은 $\displaystyle 1$, 우변은 $\displaystyle -1$이다. 원문은 두 값을 뒤바꾸어 썼으며, 두 극한이 다르다는 결론은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3. $\displaystyle d=2$인 경우: $\displaystyle \frac{P(f(x))-P(f(2))}{x-2}=\frac{P(|x-2|)-P(0)}{x-2}$이고 $\displaystyle P(x)$의 일차항의 계수 $\displaystyle \gamma_1\ne0$이면,극한 $\displaystyle \lim_{x\to+2}\frac{\gamma_1|x-2|}{x-2}=\gamma_1\ne-\gamma_1=\lim_{x\to-2}\frac{\gamma_1|x-2|}{x-2}$이다.그리고 1보다 큰 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 극한 $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\gamma_k|x-2|^k}{x-2}$는 존재하므로일차항의 계수가 0인 다항함수 $\displaystyle P(x)$는 등식 ①의 양변의 극한이 존재하고 그 극한값은 같다.

4.(20점) $\displaystyle P(2)-d=0$인 경우: $\displaystyle P(x)-d=(x-2)Q(x)$ ($\displaystyle Q(x)$는 다항식)이고, 이때$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(P(a_n))-f(P(2))}{a_n-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n-2|\cdot|Q(a_n)|}{a_n-2}=|Q(2)|$이고$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(P(b_n))-f(P(2))}{b_n-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{|b_n-2|\cdot|Q(b_n)|}{b_n-2}=-|Q(2)|$이다.− $\displaystyle P(2)-d\ne0$인 경우: $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{|P(x)-d|-|P(2)-d|}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(P(x)-d)^2-(P(2)-d)^2}{(x-2)(|P(x)-d|+|P(2)-d|)}$$\displaystyle =\lim_{x\to2}\frac{(P(x)-d)-(P(2)-d)}{(x-2)}\cdot\frac{(P(x)-d)+(P(2)-d)}{(|P(x)-d|+|P(2)-d|)}=P'(2)\frac{P(2)-d}{|P(2)-d|}$따라서, $\displaystyle P(2)-d=0$인 경우 $\displaystyle P(x)-d=(x-2)Q(x)$ ($\displaystyle Q(x)$는 다항식)이고 $\displaystyle Q(2)\ne0$이면,등식 ②의 등호는 성립하지 않는다.

5. $\displaystyle P(2)-d=0$인 경우: $\displaystyle P(x)-d=(x-2)Q(x)$ ($\displaystyle Q(x)$는 다항식)이고$\displaystyle Q(2)=0$이면, 문항 4의 풀이에 의해, 등식 ②의 양변의 극한값은 0이다.− $\displaystyle P(2)-d>0$인 경우: 문항 4의 풀이에 의해, 등식 ②의 양변의 극한값은 $\displaystyle P'(2)$이다.− $\displaystyle P(2)-d<0$인 경우: 문항 4의 풀이에 의해, 등식 ②의 양변의 극한값은 $\displaystyle -P'(2)$이다.