수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2016학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016mo_1/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

(가) 영이 아닌 실수 r\displaystyle r과 자연수 m,n\displaystyle m,n에 대하여 좌표평면에서 원점O(0,0),(n,0),(0,n),(n,n)\displaystyle O(0,0),(n,0),(0,n),(n,n)을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 영역을 S\displaystyle S라 하자.함수 y=(r(x−1))1m\displaystyle y=(r(x-1))^{\frac1m}의 그래프에 의하여 영역 S\displaystyle S가 원점을 꼭짓점으로 하는 영역 Am,n\displaystyle A_{m,n}과 그 나머지 영역 Bm,n\displaystyle B_{m,n}으로 나누어진다. 영역 Am,n\displaystyle A_{m,n}의 넓이를 am,n\displaystyle a_{m,n}, 영역 Bm,n\displaystyle B_{m,n}의 넓이를 bm,n\displaystyle b_{m,n}이라 하자.

(나) 양의 실수 c\displaystyle c에 대하여 lim⁡m→∞c1m=1\displaystyle \lim_{m\to\infty}c^{\frac1m}=1이다.

(다) 수렴하는 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}에 대하여lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n이 성립하며, lim⁡n→∞an≠0\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\ne0인 경우 lim⁡n→∞bnan=lim⁡n→∞bnlim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}b_n}{\lim_{n\to\infty}a_n}이 성립한다.

1. am,1\displaystyle a_{m,1}과 bm,1\displaystyle b_{m,1}을 구하고 극한 lim⁡m→∞bm,1am,1\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,1}}{a_{m,1}}에 관하여 논하시오.

2. 자연수 n>1\displaystyle n>1와 r>0\displaystyle r>0인 경우에 대하여 am,n\displaystyle a_{m,n}과 bm,n\displaystyle b_{m,n}을 구하고 극한 lim⁡m→∞bm,nam,n\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,n}}{a_{m,n}}에 관하여 논하시오.

3. 자연수 n>1\displaystyle n>1와 r<0\displaystyle r<0인 경우에 대하여 am,n\displaystyle a_{m,n}과 bm,n\displaystyle b_{m,n}을 구하고 극한 lim⁡m→∞bm,nam,n\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,n}}{a_{m,n}}에 관하여 논하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2016학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016mo_1/jayeon_2

1. r<0, (−r)1m≤1\displaystyle r<0,\ (-r)^{\frac1m}\le1인 경우am,1=∫0(−r)1m(1+ymr)dy=(−r)1m+(−r)1+1mr(m+1)=(−r)1m⋅mm+1\displaystyle a_{m,1}=\int_0^{(-r)^{\frac1m}}\left(1+\frac{y^m}r\right)dy=(-r)^{\frac1m}+\frac{(-r)^{1+\frac1m}}{r(m+1)}=(-r)^{\frac1m}\cdot\frac m{m+1}이고 bm,1=1−(−r)1m⋅mm+1\displaystyle b_{m,1}=1-(-r)^{\frac1m}\cdot\frac m{m+1}이다.극한 lim⁡m→∞bm,1am,1=0\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,1}}{a_{m,1}}=0이다.r<0, (−r)1m≥1\displaystyle r<0,\ (-r)^{\frac1m}\ge1인 경우am,1=∫01(1+ymr)dy=1+1r(m+1)\displaystyle a_{m,1}=\int_0^1\left(1+\frac{y^m}r\right)dy=1+\frac1{r(m+1)}이고 bm,1=−1r(m+1)\displaystyle b_{m,1}=-\frac1{r(m+1)}이다.극한 lim⁡m→∞bm,1am,1=0\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,1}}{a_{m,1}}=0이다.

Comment. 소문항 1은 r\displaystyle r의 부호를 제한하지 않지만, 예시답안은 r<0\displaystyle r<0인 경우만 다룬다. r>0\displaystyle r>0일 때 곡선을 x=1+ymr\displaystyle x=1+\frac{y^m}{r}로 나타내면 y>0\displaystyle y>0에서 x>1\displaystyle x>1이므로 단위 정사각형 내부를 지나지 않는다. 원점 쪽 영역을 정사각형 전체, 나머지를 빈 영역으로 해석하면 다음과 같다.am,1=1,bm,1=0,lim⁡m→∞bm,1am,1=0.\displaystyle a_{m,1}=1,\qquad b_{m,1}=0,\qquad \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,1}}{a_{m,1}}=0.이 경우도 대학이 제시한 극한값과 같다.

2. r>0, (r(n−1))1m≥n\displaystyle r>0,\ (r(n-1))^{\frac1m}\ge n인 경우am,n=∫0n(1+ymr)dy=n+nm+1r(m+1)\displaystyle a_{m,n}=\int_0^n\left(1+\frac{y^m}r\right)dy=n+\frac{n^{m+1}}{r(m+1)}이고 bm,n=n2−n−nm+1r(m+1)\displaystyle b_{m,n}=n^2-n-\frac{n^{m+1}}{r(m+1)}이다.r>0, (r(n−1))1m≤n\displaystyle r>0,\ (r(n-1))^{\frac1m}\le n인 경우am,n=∫0(r(n−1))1m(1+ymr)dy+n(n−(r(n−1))1m)=(r(n−1))1m+(r(n−1))1+1mr(m+1)+n(n−(r(n−1))1m)\displaystyle a_{m,n}=\int_0^{(r(n-1))^{\frac1m}}\left(1+\frac{y^m}r\right)dy+n(n-(r(n-1))^{\frac1m})=(r(n-1))^{\frac1m}+\frac{(r(n-1))^{1+\frac1m}}{r(m+1)}+n(n-(r(n-1))^{\frac1m})이고bm,n=n2−(r(n−1))1m−(r(n−1))1+1mr(m+1)−n(n−(r(n−1))1m)\displaystyle b_{m,n}=n^2-(r(n-1))^{\frac1m}-\frac{(r(n-1))^{1+\frac1m}}{r(m+1)}-n(n-(r(n-1))^{\frac1m})이다.m\displaystyle m이 큰 수이면 (r(n−1))1m≤n\displaystyle (r(n-1))^{\frac1m}\le n인 경우가 되므로 극한 lim⁡m→∞bm,nam,n=lim⁡m→∞bm,nlim⁡m→∞am,n=n−1n2−n+1\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,n}}{a_{m,n}}=\frac{\lim_{m\to\infty}b_{m,n}}{\lim_{m\to\infty}a_{m,n}}=\frac{n-1}{n^2-n+1}이다.

3. r<0, (−r)1m≥n\displaystyle r<0,\ (-r)^{\frac1m}\ge n인 경우am,n=∫0n(1+ymr)dy=n+nm+1r(m+1)\displaystyle a_{m,n}=\int_0^n\left(1+\frac{y^m}r\right)dy=n+\frac{n^{m+1}}{r(m+1)}이고 bm,n=n2−n−nm+1r(m+1)\displaystyle b_{m,n}=n^2-n-\frac{n^{m+1}}{r(m+1)}이다.r>0, (−r)1m≤n\displaystyle r>0,\ (-r)^{\frac1m}\le n인 경우Correction. 소문항 3의 두 번째 경우에 적힌 r>0\displaystyle r>0은 r<0\displaystyle r<0의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.am,n=∫0(−r)1m(1+ymr)dy=(−r)1m+(−r)1+1mr(m+1)\displaystyle a_{m,n}=\int_0^{(-r)^{\frac1m}}\left(1+\frac{y^m}r\right)dy=(-r)^{\frac1m}+\frac{(-r)^{1+\frac1m}}{r(m+1)}이고 bm,n=n2−(−r)1m−(−r)1+1mr(m+1)\displaystyle b_{m,n}=n^2-(-r)^{\frac1m}-\frac{(-r)^{1+\frac1m}}{r(m+1)}이다.m\displaystyle m이 큰 수이면 (−r)1m≤n\displaystyle (-r)^{\frac1m}\le n인 경우가 되므로 극한 lim⁡m→∞bm,nam,n=lim⁡m→∞bm,nlim⁡m→∞am,n=n2−11=n2−1\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{b_{m,n}}{a_{m,n}}=\frac{\lim_{m\to\infty}b_{m,n}}{\lim_{m\to\infty}a_{m,n}}=\frac{n^2-1}1=n^2-1이다.

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