상경계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2016학년도 모의 1회 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016mo_1/sanggyeong_2

[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여(i) $\displaystyle x=a$ 에서 함숫값 $\displaystyle f(a)$ 가 정의되어 있고(ii) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하며(iii) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 가 성립하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다.

(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 극한값 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 가 존재하면 이 극한값을 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수라 하고, 기호로 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 와 같이 나타낸다. 또, $\displaystyle x=a$ 에서 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 가 존재할 때 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다.

1. 함수 $\displaystyle f(x)=(x-1)(x+|x-1|)$ 의 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능한지 조사하고 미분가능하다면 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 을 구하시오.

2. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)$ 라고 하자. 이때 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능한지 조사하고 미분가능하다면 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 를 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 이용하여 나타내시오.

3. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle f(a)=0$ 이면 $\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)$ 인 $\displaystyle x=a$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 존재하는가? 존재한다면 그런 함수는 유일한가?

해설강의 준비중

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+20점 · 미분의 정의를 이용하여

\displaystyle f^{\prime}(1)

을 잘 구했는가?

1. $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x\cdot(1+\Delta x+|\Delta x|)}{\Delta x}=1$ 따라서 함수 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(1)=1$ 이다.

+30점 · 미분의 정의를 이용하여 미분 가능함을 보이고

\displaystyle f^{\prime}(a)

를

\displaystyle g(a)

로 잘 표현했는가?

2. 정의에 의해 $\displaystyle f(a)=0$ 이고, $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta xg(a+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}g(a+\Delta x)=g(a)$ 임을 알 수 있다. 즉, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하며, 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 는 $\displaystyle g(a)$ 이다.

+30점 · 구체적으로

\displaystyle x=a

에서 연속인 함수를 찾고, 연속임을 잘 설명했는가?

3. 함수 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)}{x-a}&(x\ne a)\\f^{\prime}(a)&(x=a)\end{cases}$ 라 하면, $\displaystyle f(a)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)$ 따라서 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이다.

+20점 · 그러한 함수가 유일함을 설명하였는가?

또한, 만약 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=(x-a)h(x)$ 를 만족하면 $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{x-a}\ (x\ne a)$ 이고, $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라면 $\displaystyle h(a)=\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)$ 임을 알 수 있다. 따라서 조건을 만족하는 함수는 유일함을 알 수 있다.

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