상경계열 2번

1. $\displaystyle f(1)=0$이므로$\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x\cdot(1+\Delta x+|\Delta x|)}{\Delta x}=1$따라서 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(1)=1$이다.

2. 정의에 의해 $\displaystyle f(a)=0$이고, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이므로$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta xg(a+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}g(a+\Delta x)=g(a)$임을 알 수 있다. 즉, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하며, 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$는 $\displaystyle g(a)$이다.

3. 함수 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)}{x-a}&(x\ne a)\\f^{\prime}(a)&(x=a)\end{cases}$라 하면, $\displaystyle f(a)=0$이므로$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)$따라서 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이다.

또한, 만약 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle f(x)=(x-a)h(x)$를 만족하면$\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{x-a}\ (x\ne a)$이고, $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 연속이라면$\displaystyle h(a)=\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)$임을 알 수 있다. 따라서 조건을 만족하는 함수는 유일함을 알 수 있다.