자연계열 1번

(1) 조건 (나) $\displaystyle f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n)$로부터$\displaystyle f(x)=p^x+q^x$에서 $\displaystyle f(0)=p^0+q^0=2$이므로 $\displaystyle f(0)=2$.자연수$\displaystyle m=1,n=1$이면 $\displaystyle f(1)f(1)=f(2)+f(0)$이므로 $\displaystyle f(2)=7$.자연수$\displaystyle m=2,n=1$이면 $\displaystyle f(2)f(1)=f(3)+f(1)$이므로 $\displaystyle f(3)=18$.[별해] 자연수$\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle f(m)f(1)=f(m+1)+f(m-1)$이므로,점화식 $\displaystyle f(m)=3f(m-1)-f(m-2)$을 이용하면$\displaystyle f(0)=2,\ f(1)=3$이므로 $\displaystyle f(2)=7$이고 $\displaystyle f(3)=18$.

(2) 점화식 $\displaystyle f(m)=3f(m-1)-f(m-2)$을 이용하면모든 자연수$\displaystyle m$에 대해서 $\displaystyle p^{m+2}+q^{m+2}=3(p^{m+1}+q^{m+1})-(p^m+q^m)$이다.따라서 모든 자연수$\displaystyle m$에 대해서 $\displaystyle p^m(p^2-3p+1)+q^m(q^2-3q+1)=0$만족되어야 한다.$\displaystyle p=\frac12(3\pm\sqrt5)$이면 $\displaystyle p^2-3p+1=0$이다.조건으로 부터 $\displaystyle p=\frac12(3+\sqrt5),\ q=\frac12(3-\sqrt5)$이다.[별해] $\displaystyle f(1)=p+q=3,\ f(2)=p^2+q^2=7$로부터 $\displaystyle 9=(p+q)^2=p^2+q^2+2pq=7+2pq$이다.따라서 $\displaystyle pq=1$.$\displaystyle q=3-p$를 $\displaystyle pq=1$에 대입하면 $\displaystyle p^2-3p+1=0$. 따라서 $\displaystyle p=\frac12(3\pm\sqrt5)$이다.$\displaystyle p=\frac12(3+\sqrt5)$이면 $\displaystyle q=\frac12(3-\sqrt5)$$\displaystyle p=\frac12(3-\sqrt5)$이면 $\displaystyle q=\frac12(3+\sqrt5)$

(3) $\displaystyle f(x)=p^x+q^x$이므로$\displaystyle f(x)$는 미분가능한 함수이며 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=p^x\ln p+q^x\ln q$$\displaystyle f^{\prime}(0)=\ln p+\ln q=\ln pq=0$: 문제 (2)에서 $\displaystyle p*q=\left(\frac12(3+\sqrt5)\right)*\left(\frac12(3-\sqrt5)\right)=1$. $\displaystyle f^{\prime}(0)<1$이다.$\displaystyle f^{\prime}(1)=p\ln p+q\ln q>1;\ \ln p+\ln q=0$이므로 $\displaystyle \ln q=-\ln p$이고 $\displaystyle p-q=\sqrt5>2$이므로$\displaystyle f^{\prime}(1)=p\ln p+q\ln q=(p-q)\ln p=\sqrt5\ln p$.또한, $\displaystyle p^2=\frac12(7+3\sqrt5)>3>e$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\sqrt5\ln p>2\ln p>\ln p^2>1$Correction. $\displaystyle 2\ln p>\ln(p^2)$의 부등호는 등호의 오기이다. $\displaystyle 2\ln p=\ln(p^2)$이며 뒤 결론은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\sqrt5\ln p>1$.$\displaystyle f^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속함수 이며, $\displaystyle f^{\prime}(0)<1<f^{\prime}(1)$이므로, 중간값 정리에 의해서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=1$이 되는 $\displaystyle a$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 적어도 한 개가 존재한다.어떤 값 $\displaystyle 0\le b\le1$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(b)=1$이라 하자. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=p^x(\ln p)^2+q^x(\ln q)^2$이고 0이 아닌 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 음이 아닌 실수 $\displaystyle x$에 대해서 연속하는 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle 0\le x<b$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(x)<f^{\prime}(b)$이며 $\displaystyle b<x\le1$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(b)<f^{\prime}(x)$이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime}(a)=1$이 되는 $\displaystyle a$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에 단 한 개만 존재한다.