상경계열 2-3번

3. 실수 $\displaystyle t$ $\displaystyle \left(0<t<\frac{\alpha}{3}\right)$에 대해 함수 $\displaystyle f(x)=x(x-\alpha)^{2}$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{B}(t,f(t))$에서의 접선을 $\displaystyle y=g(x)$라 하면,$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)=(t-\alpha)\{(3t-\alpha)(x-t)+t(t-\alpha)\}$이다. 직선 $\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x$절편은$\displaystyle \frac{-t(t-\alpha)+t(3t-\alpha)}{3t-\alpha}=\frac{2t^{2}}{3t-\alpha}$이고, $\displaystyle f(t)=t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t$이므로, 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_{1}$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{1}&=\frac{1}{2}\left\{t-\frac{2t^{2}}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)\\&=\frac{1}{2}\left\{\frac{t(t-\alpha)}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)\end{aligned}$한편, $\displaystyle S_{2}$는 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle t$까지 적분하여 구할 수 있으므로$\displaystyle \begin{aligned}S_{2}&=\int_{0}^{t}(x^{3}-2\alpha x^{2}+\alpha^{2}x)\,dx\\&=\Biggl[\frac{x^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha x^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}x^{2}\Biggr]_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}t^{2}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{S_{2}}{S_{1}}$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0}\frac{S_{2}}{S_{1}}&=\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}t^{2}}{\frac{1}{2}\left\{\frac{t(t-\alpha)}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)}\\&=\lim_{t\to0}\frac{\left(\frac{t^{2}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t+\frac{1}{2}\alpha^{2}\right)(6t-2\alpha)}{(t-\alpha)(t^{2}-2\alpha t+\alpha^{2})}=\frac{\alpha^{3}}{\alpha^{3}}=1\end{aligned}$