상경계열 2-2번

2. $\displaystyle a$가 자연수이므로 $\displaystyle -\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{5\pi}{3}$에서 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$는$\displaystyle x=0$에서 최댓값 $\displaystyle 2a+b$, $\displaystyle x=\pi$에서 최솟값 $\displaystyle -2a+b$를 갖는다.함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 세 개가 되는 경우는$\displaystyle k=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$인 경우밖에 없고, 이 때 $\displaystyle k=a+b$이다.Correction. 함숫값 $\displaystyle \frac12$은 $\displaystyle a+b$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle 0,1,2,3$ 중 하나이므로 $\displaystyle m+n$의 값이 최대가 되려면, $\displaystyle m=3,n=2$ 또는 $\displaystyle m=2,n=3$이어야 한다.

i) $\displaystyle m=3,n=2$인 경우함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=10$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle a+b=10$이다. 또한, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=13$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 2$가 되기 위해서는 $\displaystyle 13<2a+b$여야 한다.그러므로 $\displaystyle a>3$이고, 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (4,6),\ (5,5),\ (6,4),\ (7,3)$이다.

ii) $\displaystyle m=2,n=3$인 경우함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=13$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle a+b=13$이다. 또한, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=10$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 2$가 되기 위해서는 $\displaystyle 10>-2a+b$여야 한다.그러므로 $\displaystyle (a+b)-3a=13-3a<10$이고 $\displaystyle a>1$이다. $\displaystyle b$도 $\displaystyle 7$ 이하이므로 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (6,7),\ (7,6)$이다.