상경계열 2번

1. 주어진 식에 $\displaystyle x=0,\ x=1$을 대입해 정리하면 $\displaystyle 2026a+1=bc,\ 2026+a=b+c$를 얻는다.만약 $\displaystyle a$가 홀수이면 $\displaystyle 2026+a$는 홀수이고 $\displaystyle 2026a+1$ 역시 홀수이므로, $\displaystyle b+c$와 $\displaystyle bc$도 홀수가 되어야 한다. 하지만 이를 동시에 만족하는 자연수 $\displaystyle b$와 $\displaystyle c$는 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle a$는 짝수이다. 한편$\displaystyle (b-c)^{2}=(b+c)^{2}-4bc=(a+2026)^{2}-4(2026a+1)=(a-2026)^{2}-4$이므로 $\displaystyle (a-2026)^{2}-(b-c)^{2}=4$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle (a-2026)^{2}=4$와 $\displaystyle (b-c)^{2}=0$이고 이로부터,$\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (2028,2027,2027)$ 또는 $\displaystyle (2024,2025,2025)$이다.

2. $\displaystyle a$가 자연수이므로 $\displaystyle -\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{5\pi}{3}$에서 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$는$\displaystyle x=0$에서 최댓값 $\displaystyle 2a+b$, $\displaystyle x=\pi$에서 최솟값 $\displaystyle -2a+b$를 갖는다.함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 세 개가 되는 경우는$\displaystyle k=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$인 경우밖에 없고, 이 때 $\displaystyle k=a+b$이다.Correction. 함숫값 $\displaystyle \frac12$은 $\displaystyle a+b$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle 0,1,2,3$ 중 하나이므로 $\displaystyle m+n$의 값이 최대가 되려면, $\displaystyle m=3,n=2$ 또는 $\displaystyle m=2,n=3$이어야 한다.

i) $\displaystyle m=3,n=2$인 경우함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=10$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle a+b=10$이다. 또한, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=13$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 2$가 되기 위해서는 $\displaystyle 13<2a+b$여야 한다.그러므로 $\displaystyle a>3$이고, 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (4,6),\ (5,5),\ (6,4),\ (7,3)$이다.

ii) $\displaystyle m=2,n=3$인 경우함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=13$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle a+b=13$이다. 또한, 함수 $\displaystyle f(x)=2a\cos x+b$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=10$이 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle 2$가 되기 위해서는 $\displaystyle 10>-2a+b$여야 한다.그러므로 $\displaystyle (a+b)-3a=13-3a<10$이고 $\displaystyle a>1$이다. $\displaystyle b$도 $\displaystyle 7$ 이하이므로 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (6,7),\ (7,6)$이다.

3. 실수 $\displaystyle t$ $\displaystyle \left(0<t<\frac{\alpha}{3}\right)$에 대해 함수 $\displaystyle f(x)=x(x-\alpha)^{2}$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{B}(t,f(t))$에서의 접선을 $\displaystyle y=g(x)$라 하면,$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)=(t-\alpha)\{(3t-\alpha)(x-t)+t(t-\alpha)\}$이다. 직선 $\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x$절편은$\displaystyle \frac{-t(t-\alpha)+t(3t-\alpha)}{3t-\alpha}=\frac{2t^{2}}{3t-\alpha}$이고, $\displaystyle f(t)=t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t$이므로, 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_{1}$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{1}&=\frac{1}{2}\left\{t-\frac{2t^{2}}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)\\&=\frac{1}{2}\left\{\frac{t(t-\alpha)}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)\end{aligned}$한편, $\displaystyle S_{2}$는 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle t$까지 적분하여 구할 수 있으므로$\displaystyle \begin{aligned}S_{2}&=\int_{0}^{t}(x^{3}-2\alpha x^{2}+\alpha^{2}x)\,dx\\&=\Biggl[\frac{x^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha x^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}x^{2}\Biggr]_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}t^{2}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{S_{2}}{S_{1}}$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0}\frac{S_{2}}{S_{1}}&=\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^{4}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t^{3}+\frac{1}{2}\alpha^{2}t^{2}}{\frac{1}{2}\left\{\frac{t(t-\alpha)}{3t-\alpha}\right\}(t^{3}-2\alpha t^{2}+\alpha^{2}t)}\\&=\lim_{t\to0}\frac{\left(\frac{t^{2}}{4}-\frac{2}{3}\alpha t+\frac{1}{2}\alpha^{2}\right)(6t-2\alpha)}{(t-\alpha)(t^{2}-2\alpha t+\alpha^{2})}=\frac{\alpha^{3}}{\alpha^{3}}=1\end{aligned}$