자연계열 2번

【논제 2】Correction. 수압으로 평판이 받는 힘의 적분식은 제시문 [바]에 주어져 있으므로 답안의 “제시문 (라)”는 “[바]”로 읽어야 한다. (1)의 첫 적분식도 적분 변수가 $\displaystyle h$이므로 $\displaystyle dx$는 $\displaystyle dh$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(1) $\displaystyle a=0,\ b=30,\ L=100,\ \rho=1000kg/m^3,\ g=9.8m/\mathrm{sec}^2$이므로 제시문 (라)에서 주어진 공식에 대입하면$\displaystyle F=\rho g\int_a^b hL(h)\,dx=9800\int_0^{30}100h\,dh=9.8\times10^5\times\Biggl[\frac12h^2\Biggr]_0^{30}$$\displaystyle =9.8\times10^5\times450=4.41\times10^8(N)$이 된다.

(2) 깊이 $\displaystyle y$에서 단면의 길이가 $\displaystyle L(y)=2x=2a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}$이므로 제시문 (라)에서 주어진 공식에 대입하면 $\displaystyle F=\int_0^b\rho g\times2a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}y\,dy$이 된다. 정적분을 계산하기 위해서 $\displaystyle u=1-\frac{y^2}{b^2}$이라고 놓으면 $\displaystyle du=-\frac{2y}{b^2}dy$이므로 $\displaystyle F=ab^2\rho g\int_0^1\sqrt u\,du=ab^2\rho g\Biggl[\frac23u^{\frac32}\Biggr]_0^1=\frac{2ab^2}3\rho g$가 된다. 따라서 유조차의 단면이 받는 힘의 크기는 $\displaystyle F=\frac{2ab^2}3\rho g$가 된다.